Հոդվածների այցերի քանակը
86548

Կոշիի վերջավոր աճերի ընդհանրացված թեորեման

Վերջավոր աճերի վերաբերյալ նախորդ դասում ապացուցված թեորեման Կոշին հետևյալ կերպ է ընդհանրացրել։

Կոշիի վերջավոր աճերի թեորեման։ Դիցուք 1) f(x) և g(x) ֆունկցիաներն անընդհատ են [a, b] փակ միջակայքում, 2) գոյություն ունեն f'(x) և g'(x) վերջավոր ածանցյալներ՝ առնվազն (a, b) բաց միջակայքում, g'(x)≠0 (a, b) միջակայքում։

Այդ դեպքում a-ի և b-ի միջև կգտնվի այնպիսի c կետ, որ

\[\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f'(c)}{g'(c)}\]

Այս բանաձևը կոչվում է Կոշիի բանաձև անունը։

Ապացուցում։ Նախ նկատենք, որ վերոհիշյալ հավասարության ձախ մասի հայտարարը զրոյի հավասար չէ, քանի որ հակառակ դեպքում այդ արտահայտությունը իմաստ չեր ունենա։ Եթե լիներ g(b)=g(a), ապա, ըստ Ռոլլի թեորեմայի, մի որոշ միջանկյալ կետում պետք է g'(x) ածանցյալը հավասար լիներ զրոյի, որը կհակասեր 3)-րդ պայմանին․ ուրեմն g(b)≠g(a):

Այժմ դիտարկենք հետևյալ օժանդակ ֆունկցիան՝

\[F(x)=f(x)-f(a)-\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}(g(x)-g(a)):\]

Սա բավարարում է Ռոլլի թեորեմայի բոլոր պայմաններին։ Իրոք, F(x)-ը [a, b]-ում անընդհատ է, որովհետև f(x) և g(x) ֆունկցիաները անընդհատ են․ F'(x) ածանցյալը (a, b)-ում գոյություն ունի և հավասար է
\[F'(x)=f'(x)-\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a}\cdot g'(x)\]

արտահայտությանը։ Վերջապես, ուղղակի տեղադրության միջոցով համոզվում ենք, որ F(a)=F(b)=0: Հետևապես Ռոլլի թեորեմայի համաձայն (a, b) միջակայքում գոյություն ունի այնպիսի c կետ, որտեղ F'(c)=0: Այլ կերպ ասած, ունենք՝
\[f'(c)-\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}\cdot g'(c)=0\]

կամ՝
\[f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}\cdot g'(c):\]

Բաժանելով g'(c)-ի վրա (որը հնարավոր է, որովհետև g'(c)≠0) կստանանք պահանջվող հավասարությունը։

Պարզ է, որ Լագրանժի թեորեման հանդիսանում է Կոշիի թեորեմայի մասնավոր դեպքը։ Կոշիի բանաձևից վերջավոր աճերի բանաձևն ստանալու համար պետք է ընդունել g(x)=x:

Վերջին երեք դասերում ապացուցված թեորեմաներում ածանցյալի նշանի տակ մասնակցում է անկախականի մի ինչ որ միջանկյալ արժեք, որը, ինչպես արդեն նշել ենք, ընդհանրապես մեզ համար անհայտ է։ Այդ արժեքը ածանցյալին նույնպես տալիս է, որոշ իմաստով, միջին արժեք։ Այդ կապակցությամբ բոլոր այդ թեորեմաներն անվանում են «միջին արժեքների թեորեմաներ»։

Վերջին ավելացված նյութերը

Դեկտեմբերի 01 2019
Հոկտեմբերի 30 2019
Հոկտեմբերի 14 2019
Free Joomla! templates by AgeThemes