Հոդվածների այցերի քանակը
84767

Ռոլլի թեորեման

Դիֆերենցիալ հաշվի շատ թեորեմաների ու բանաձևերի, ինչպես նաև նրա կիրառությունների հիմքում ընկած է հետևյալ պարզ, բայց կարևոր թեորեման, որը կապված է Ռոլլի անվան հետ։ (Միշել Ռոլլ (1652-1719) ֆրանսիացի մաթեմատիկոս, որը երկար ժամանակ նոր հաշվի հակառակորդ եր և նրան հարեց միայն մեծ տարիքում։ Այստեղ բերված թեորեման Ռոլլը արտահայտել է միայն բազմանդամների համար։)

Ռոլլի թեորեման։ Դիցուք 1) f(x) ֆունկցիան որոշված ու անընդհատ է [a, b] փակ միջակայքում, 2) գոյություն ունի f'(x) վերջավոր ածանցյալ առնվազն (a; b) բաց միջակայքում, 3) միջակայքի ծայրակետերում ֆունկցիան ընդունում է հավասար արժեքներ՝ f(a)=f(b):

Այդ դեպքում a-ի և b-ի միջև կգտնվի այնպիսի c կետ (a<c<b), որտեղ f '(c)=0:

Ապացուցում։ f(x)-ը [a, b] փակ միջակայքում անընդհատ է և, ուրեմն, ըստ Վայերշտրասի երկրորդ թեորեմայի, նա այդ միջակայքում ընդունում է իր ինչպես M մեծագույն արժեքը, նույնպես և m փոքրագույն արժեքը։ Դիտարկենք երկու դեպք։

1․ M=m: Այդ ժամանակ f(x)-ը [a, b] միջակայքում պահպանում է հաստատուն արժեք, իրոք, m≤f(x)≤M անհավասարությունը այդ դեպքում կտա, որ f(x)=M` x-ի բոլոր արժեքների համար, ուստի f՛(x)=0 ամբողջ միջակայքում, այնպես որ, որպես c կետ կարելի է վերցնել (a, b)-ի ամեն մի կետ։

2․ M>m: Մենք գիտենք, որ այս երկու արժեքներին էլ ֆունկցիան հասնում է, բայց, քանի որ f(a)=f(b), ուստի նա չի կարող այդ երկու արժեքներին էլ հասնել միջակայքի ծայրակետերում և դրանցից գոնե մեկը նա ընդունում է a-ի և b-ի միջև գտնվող որևէ c կետում։ Այդ դեպքում Ֆերմայի թեորեմայից հետևում է, որ այդ կետում f'(c) ածանցյալը դառնում է զրո։ Թեորեման ապացուցված է։

Երկրաչափական լեզվով Ռոլլի թեորեման նշանակում էհետևյալը․ եթե y=f(x) կորի ծայրերի օրդինատները հավասար են, ապա կորի վրա կգտնվի այնպիսի կետ, որտեղ կորին տարած շոշափողը զուգահեռ է x-երի առանցքին (գծագիր 39):

Գծագիր 39

Վերջին ավելացված նյութերը

Դեկտեմբերի 01 2019
Հոկտեմբերի 30 2019
Հոկտեմբերի 14 2019
Free Joomla! templates by AgeThemes