Հոդվածների այցերի քանակը
84191

Ֆերմայի թեորեման

Որևէ ֆունկցիայի ածանցյալը (կամ մի քանի ածանցյալները) գիտենալը թույլ է տալիս եզրակացություններ անելու ֆունկցիայի՝ իր վարքի մասին։ Ածանցյալի գաղափարի զանազան կիրառությունների հիմքում ընկած են մի քանի պարզ, սակայն կարևոր թեորեմաներ և բանաձևեր, որոնց նվիրված է այլ գլուխը։

Սկսենք մի օժանդակ առաջադրությունից, որն արդարացի կլիներ կոչել Ֆերմայի անունով։ Հասկանալի է, ստորև բերված ձևով այդ առաջադրությունը նրա մոտ չկա (Ֆերման դեռևս չուներ ածանցյալի գաղափարը), բայց այն այնուամենայնիվ վերարտադրում է էությունը այն եղանակի, որը կիրառում էր Ֆերման ֆունկցիայի մեծագույն և փոքրագույն արժեքների որոնման համար։

Ֆերմայի թեորեման։ Դիցուք f(x) ֆունկցիան որոշված է մի X միջակայքում և այդ միջակայքի ներքին c կետում ընդունում է մեծագույն (փոքրագույն) արժեք։ Եթե այդ կետում գոյություն ունի f'(c) վերջավոր ածանցյալ, ապա անհրաժեշտաբար f'(c)=0:

Ապացուցում։ Դիցուք, որոշակիության համար, f(x)-ը c կետում ընդունում է մեծագույն արժեք, այնպես որ X-ին պատկանող բոլոր x-երի համար

\[f(x)\leq f(c):\]

Ըստ ածանցյալի սահմանման՝
\[f'(c)= \lim_{x \to c} \frac{f(x)-f(c)}{x-c},\]

ընդ որում՝ այդ սահմանը հախված չէ այն բանից, թե x-ը c-ին պետք է մոտենա աջից, թե ձախից։ Սակայն x>c դեպքում ունենք՝
\[\frac{f(x)-f(c)}{x-c} \leq 0\]

այնպես որ սահմանում ևս, երբ x->c+0, կստացվի՝
\[f'(c) \leq 0\]

Իսկ եթե x<c, ապա կունենանք՝
\[\frac{f(x)-f(c)}{x-c} \geq 0\]

և, այստեղ անցնելով սահմանին, երբ x->c-0, կգտնենք՝
\[f'(c) \geq 0:\]

Բաղդատելով
\[ f'(c) \leq 0; \quad f'(c) \geq 0\]

առնչությունները, հանգում ենք պահանջվող եզրակացությանը՝
\[f'(c) = 0:\]

Դիտողություն։ Արված դատողությունը, ըստ էության, ապացուցում է, որ նշված c կետում չի կարող գոյություն ունենալ նաև երկկողմյան անվերջ ածանցյալ։ Այսպիսով, թեորեմայի եզրակացությունը կպահպանվի, եթե այդ կետում ենթադրենք (երկկողմյան) ածանցյալի գոյությունը, նախապես վերապահում չանելով նրա վերջավոր լինելու վերաբերյալ։

Հիշենք մեր նախորդ դասերից, որ y'=f'(x) ածանցյալի երկրաչափական մեկնաբանությունը որպես y=f(x) կորի շոշափողի անկյունային գործակից։ f'(c) ածանցյալի զրո դառնալը երկրաչափորեն նշանակում է, որ այդ կորի համապատասխան կետում շոշափողը զուգահեռ է ox առանցքին։ 38-րդ գծագիրն այդ հանգամանքը լիովին տեսանելի է դարձնում։

գծագիր 38

Ապացուցման մեջ էապես օգտագործվեց այն ենթադրությունը, որ c-ն միջակայքի ներքին կետ է, քանի որ կարիք եղավ դիտարկելու և c-ից աջ գտնվող x կետերը, և c-ից ձախ գտնվող x կետերը։ Առանց այդ ենթադրության թեորեման կդադարեր իրավացի լինելուց․ եթե f(x) ֆունկցիան որոշված է փակ միջակայքում և իր մեծագույն (փոքրագույն) արժեքին հասնում է այդ միջակայքի ծայրակետերից մեկում, ապա f'(x) ածանցյալն այդ կետում (եթե գոյություն ունի) կարող է զրո չլինել։ Ընթերցողին ենք թողնում համապատասխան օրինակ գտնելը։

Վերջին ավելացված նյութերը

Դեկտեմբերի 01 2019
Հոկտեմբերի 30 2019
Հոկտեմբերի 14 2019
Free Joomla! templates by AgeThemes