Հոդվածների այցերի քանակը
84797

Բարձր կարգի դիֆերենցիալներ

Այժմ անցնենք բարձր կարգի դիֆերենցիալներին․ նրանք նույնպես սահմանվում են ինդուկտիվ եղանակով։ y=f(x) ֆունկցիայի երկրորդ կարգի դիֆերենցիալ կամ երկրորդ դիֆերենցիալ տրված որևէ կետում, կոչվում է նրա (առաջին) դիֆերենցիալի դիֆերենցիալը նույն կետում․ նշանակում են՝

\[d^2y=d(dy):\]

Երրորդ կարգի դիֆերենցիալ կամ երրորդ դիֆերենցիալ կոչվում է երկրորդ կարգի դիֆերենցիալի դիֆերենցիալը՝
\[d^3=d(d^2y)\]

Ընդհանրապես, y=f(x) ֆունկցիայի n-րդ կարգի դիֆերենցիալ կոչվում է նրա (n-1) -րդ կարգի դիֆերենցիալի դիֆերենցիալը՝
\[d^ny=d \left( d^{n-1}y \right) :\]

Եթե օգտվենք ֆունկցիոնալ նշանակումներից, ապա հաջորդական դիֆերենցիալները կարող են նշանակվել այսպես՝
\[d^2f(x_0), d^3f(x_0), …, d^nf(x_0), …,\]

ընդ որում հնարավոր է լինում նշել այն x=x0 մասնավոր արժեքը, որի դեպքում վերցվում են դիֆերենցիալները։

Բարձր կարգի դիֆերենցիալներ հաշվելիս շատ կարևոր է հիշել այն, որ dx-ը կամայական և x-ից անկախ թիվ է․ ըստ x-ի դիֆերենցման ժամանակ այն պետք է դիտել որպես հաստատուն արտադրիչ։ Այդ ժամանակ կունենանք (միշտ ենթադրելով, որ համապատասխան ածանցյալները գոյություն ունեն)՝

\[d^2y=d(dy)=d(y'⋅dx)=dy'⋅dx=(y''⋅dx)⋅dx=y''⋅dx^2,\]

\[d^3y=d(d^2y)=d(y''⋅dx^2)=dy''⋅dx^2=(y'''dx)⋅dx^2=y'''dx^3\]

և այլն։ Հեշտությամբ կռահվող ընդհանուր օրենքը՝
\[d^ny=y^{(n)}dx^n\]

ապացուցվում է մաթեմատիկական ինդուկցիայի մեթոդով։ Այդ օրենքից հետևում է, որ
\[y^{(n)}=\frac{d^ny}{dx^n},\]

ուստի սրանից հետո վերոհիշյալ սիմվոլը կարելի է դիտել որպես կոտորակ։

Օգտվելով dny=y(n)dxn հավասարությունից, այժմ արդեն հեշտ է Լայբինցի բանաձևը գրել դիֆերենցիալների միջոցով։ Բավական է միայն այդ բանաձևի երկու մասը բազմապատկել dxn-ով, որպեսզի ստացվի՝

\[d^n(u⋅v)=\sum_{i=0}^n C_n^id^{n-i}u⋅d^iv\quad (d^0u=u, \quad d^0v=v)\]

Լայբինցն ինքն իր բանաձևն ստացել է հենց այս տեսքով։

Վերջին ավելացված նյութերը

Դեկտեմբերի 01 2019
Հոկտեմբերի 30 2019
Հոկտեմբերի 14 2019
Free Joomla! templates by AgeThemes