Հոդվածների այցերի քանակը
84758

Դիֆերենցիալի ձևի անփոփոխականությունը (ինվարիանտությունը)

Բարդ ֆունկցիայի ածանցման կանոնը մեզ հանգեցնում է դիֆերենցիալի մի ուշագրավ կարևոր հատկության։

Դիցուք y=f(x) և x=φ(t) ֆունկցիաներն այնպիսին են, որ նրանցից կարելի է կազմել y=f(φ(t)) բարդ ֆունկցիա։ Եթե գոյություն ունեն y'x և x't ածանցյալները, ապա, ըստ բարդ ֆունկցիայի ածանցման դասի V կանոնի, գոյություն ունի նաև

y't=y'x⋅x't

ածանցյալը։

Եթե x-ը ընդունենք որպես անկախ փոփոխական, dy դիֆերենցյալը կարտահայտվի dy=y'xdx բանաձևով։ Այժմ ընդունենք, որ անկախ փոփոխականը t-ն է, այս դեպքում դիֆերենցիալի համար կունենանք այլ արտահայտություն՝

dy=y't⋅dt:

Սակայն, y't ածանցյալը փոխարինելով իր y't=y'x⋅x't արտահայտությամբ և նկատելով, որ x't⋅dt-ն x-ի, որպես t-ի ֆունկցիայի դիֆերենցիալն է, վերջնականապես կստանանք՝

dy=y'x⋅x't dy=y'xdx

այսինքն՝ վերադարձանք դիֆերենցիալի նախկին ձևին։

Այսպիսով, մենք տեսնում ենք, որ դիֆերենցիալի ձևը կարող է պահպանվել նույնիսկ այն դեպքում, երբ նախկին անկախ փոփոխականը փոխարինվում է նորով։ Մենք միշտ իրավունք ունենք y-ի դիֆերենցիալը գրել dy=y'xdx ձևով, անկախ այն բանից, թե արդյոք x-ը անկախ փոփոխական է, թե ոչ․ տարբերությունը կայանում է միայն նրանում, որ եթե որպես անկախ փոփոխական վերցրած է t-ն, ապա dx-ը նշանակում է ոչ թե կամավոր Δx աճ, այլ t-ից կախված x ֆունկցիայի դիֆերենցիալ։ Հենց այս հատկությունն էլ անվանում են դիֆերենցիալի ձևի անփոփոխականություն (ինվարիանտություն):

Քանի որ dy=y'xdx բանաձևից անմիջապես ստացվում է

\[y'_x=\frac{dy}{dx}\]

բանաձևը, որն y'x ածանցյալն արտահայտում է dx և dy դիֆերենցիալների միջոցով, ապա վերջին բանաձևը նույնպես պահպանում է իր ուժը, որ անկախ փոփոխականի, (իհարկե, ամեն դեպքում՝ միևնույն) նկատմամբ էլ հաշվելու լինենք նշված դիֆերենցիալները։

Դիտողություն։ Ածանցյալը ցանկացած փոփոխականի նկատմամբ վերցրած դիֆերենցիալների միջոցով արտահայտելու հնարավորությունը, մասնավորապես, բերում է այն բանին, որ հակադարձ և բարդ ֆունկցիաների դիֆերենցման կանոնները լայբինցյան նշանակումներով արտահայտվող

\[\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\frac{dx}{dy}}, \quad \frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}⋅\frac{du}{dx}\]

բանաձևերը դառնում են պարզ հանրահաշվական նույնություններ (որքանով որ բոլոր դիֆերենցիալները այստեղ կարող են վերցվել ըստ միևնույն փոփոխականի)։ Ի միջի այլոց, չպետք է կարծել, որ սրանով արվեց վերոհիշյալ բանաձևերի նոր արտածում․ նախ՝ այստեղ չապացուցվեց այդ հավասարությունների աջ մասերում գրված ածանցյալների գոյությունը, և, որ գլխավորն է, մենք էապես օգտվեցինք դիֆերենցիալի ձևի անփոփոխականությունից, որն ինքը արդեն հայտնի կանոնի հետևանք է։

Վերջին ավելացված նյութերը

Դեկտեմբերի 01 2019
Հոկտեմբերի 30 2019
Հոկտեմբերի 14 2019
Free Joomla! templates by AgeThemes