Հոդվածների այցերի քանակը
84797

Ածանցյալի սահմանումը

Բաղդատելով այն գործողությունները, որոնք մենք կատարեցինք վերևում դիտարկած երկու հիմնական խնդիրները լուծելիս, հեշտ է նկատել, որ երկու դեպքում էլ, եթե նկատի չունենանք փոփոխականների մեկնաբանումների միջև եղած տարբերությունը, ըստ էության կատարվում էր նույն բանը՝ ֆունկցիայի աճը բաժանում եինք անկախ փոփոխականի աճի վրա և ապա հաշվում այդ հարաբերության սահմանը։ Հենց այդպիսի ճանապարհով էլ մենք գալիս ենք դիֆերենցիալ հաշվի հիմնական գաղափարին՝ ածանցյալի գաղափարին։

Դիցուք y=f(x) ֆունկցիան որոշված է X միջակայքում։ Ելնելով անկախ փոփոխականի մի որոշ x=x0 արժեքից, նրան տանք այնպիսի Δx≠0 աճ, որը նրան դուրս չբերի X միջակայքից․ այնպես որ x0+Δx նոր արժեքը նույնպես պատկանի այդ միջակայքին։ Այդ ժամանակ ֆունկցիայի y=f(x0) արժեքը կփոխարինվի նոր՝ y+Δy=f(x0+Δx) արժեքով, այսինքն՝ նա կունենա

\[Δy=Δf(x_0)=f(x_0+Δx)-f(x_0)\]

աճը։

Եթե գոյություն ունի ֆունկցիայի աճի և անկախ փոփոխականի՝ այդ աճն առաջացնող աճի հարաբերության սահմանը, երբ Δx-ը ձգտում է 0-ի, այսինքն՝

\[\lim_{Δx \to 0}\frac{Δy}{Δx}=\lim_{Δx \to 0}\frac{f(x_0 +Δx)-f(x_0)}{Δx}\]

ապա այդ սահմանը կոչվում է y=f(x) ֆունկցիայի ածանցյալ ըստ x անկախ փոփոխականի, նրա x=x0 տրված արժեքի դեպքում (կամ տրված կետում)։

Այսպիսով, ածանցյալը x=x0 տրված արժեքի դեպքում, եթե այն գոյություն ունի, մի որոշակի թիվ է։ Իսկ եթե ածանցյալը գոյություն ունի ամբողջ X միջակայքում, այսինքն՝ այդ միջակայքի ամեն մի x-ի համար, ապա նա x-ի ֆունկցիա է։

Օգտվելով հենց նոր մուծված գաղափարից, շարժվող կետի արագության վերաբերյալ դասում ասածը կարելի է ամփոփել այսպես՝

v արագությունը s անցած ճանապարհի ածանցյալն է ըստ t ժամանակի։

Եթե «արագություն» բառը հասկանանք ավելի ընդհանուր իմաստով, ապա յարելի կլինի ածանցյալը միշտ մեկնաբանել, որպես ինչ-որ «արագություն»։ Այն է՝ ունենալով x անկախ փոփոխականի y ֆունկցիա, կարելի է առաջադրել y փոփոխականի փոփոման արագության հարցը՝ x փոփոխականի փոփոխման բաղդատմամբ (x-ի տվյալ արժեքի դեպքում):

Եթե x-ին տրված Δx աճը առաջացնում է y-ի Δy աճ, ապա շարժվող կետի արագության դասի նման, y-ի փոփոխման միջին արագության x-ի համեմատությամբ, երբ x-ը փոփոխվում է Δx չափով, կարելի է համարել

\[v_{միջ}=\frac{Δy}{Δx}\]

հարաբերությունը։

Իսկ y-ի փոփոխման արագություն x-ի տվյալ արժեքի դեպքում բնական կլինի անվանել այդ հարաբերության սահմանը, երբ Δx-ը ձգտում է զրոյի՝

\[V=\lim_{Δx \to 0}V_{միջ}=\lim_{Δx \to 0}\frac{Δy}{Δx}\]

այսինքն՝ հենց y-ի ածանցյալն ըստ x-ի։

Կորին շոշափող տանելու դասում մենք դիտարկեցինք y=f(x) հավասարումով տրված կորը և լուծեցինք տրված կետում նրան շոշափող տանելու խնդիր։ Այժմ այնտեղ ստացված արդյունքը ձևակերպել այսպես՝

Շոշափողի tgα անկյունային գործակիցը y օրդինատի ածանցյալն է ըստ x աբսցիսի։

Ածանցյալի այս երկրաչափական մեկնաբանումը հաճախ օգտակար է լինում։

Ի լրացումն վերը դիտարկվածների, բերենք ևս մի քանի օրինակ, որոնք բացահայտում են ածանցյալի գաղափարի դերը։

Եթե շարժման v արագությունը հաստատուն չէ, այլ ինքն էլ t ժամանակի ընթացքում փոփոխվում է՝ v=f(t), ապա դիտարկում են «արագության փոփոխման արագությունը», այն անվանելով արագացում։

Այսպես, եթե ժամանակի Δt աճին համապատասխանում է արագության Δv աճ, ապա

\[a_{միջ}=\frac{Δv}{Δt}\]

հարաբերությունը կարտահայտի միջին արագացումը Δt ժամանակամիջոցում, իսկ նրասահմանը կտա շարժման արագացումը տվյալ պահին՝
\[a=\lim_{Δt \to 0}a_{միջ}=\lim_{Δt \to 0} \frac{Δv}{Δt}:\]

Այսպիսով, արագացումը արագության ածանցյալն է ըստ ժամանակի։

Այժմ դիտարկենք զանգվածի «գծային» անընդհատ բաշխումը մի որոշ ուղղագիծ հատվածի երկարությամբ (այսինքն՝ այնպիսի ձողի երկարությամբ, որի լայնությունն ու հաստությունը մենք առհամարում ենք)։ Դիցուք այդ հատվածի կետի դիրքը որոշվում է x աբսցիսով, հաշված (օրինակ՝ սանտիմետրերով) հատվածի սկզբից։

[0, x] հատվածի երկարությամբ բաշխված m զանգվածը կախված կլինի x-ից m=f(x): Հատվածի ծայրի աբսցիսի Δx աճը կառաջացնի զանգվածի Δm աճ․ այլ խոսքով՝ Δm-ը x կետին կից [x, x+Δx] հատվածի հետ կապված զանգվածն է։ Այդ դեպքում նշված հատվածում զանգվածի բաշխման միջին խտությունը կարտահայտվի

\[p_{միջ}=\frac{Δm}{Δx}\]

հարաբերությամբ։ Այս միջին խտության սահմանը, երբ հատվածը կծկվում է կետում, այսինքն՝ Δx->0`
\[p=\lim_{Δx \to 0}p_{միջ}=\lim_{Δx \to 0}\frac{Δm}{Δx}\]

կոչվում է գծային խտություն x կետում․ այդ խտությունը զանգվածի ածանցյալն է ըստ աբսցիսի։

Դիմենք ջերմության ուսմունքին և ածանցյալի օգնությամբ սահմանենք մարմնի ջերմունակության գաղափարը տվյալ ջերմաստիճանում։

Այս խնդրի մեջ մասնակցող ֆիզիկական մեծությունները նշանակենք հետևյալ կերպ․ Θ-ով՝ ջերմաստիճանը (C աստիճաններով), W-ով՝ ջերմության այն քանակը, որը պետք է հաղորդել մարմնին՝ նրան 0 աստիճանից մինչև Θ աստիճան տաքացնելիս (կալորիաներով)։ Պարզ է, որ W-ն Θ-ի ֆունկցիան է՝ W=f(Θ): Θ-ին տանք մի որոշ ΔΘ աճ, այդ ժամանակ W-ն նույնպես կստանա ΔW աճ։ Θ-ից մինչև (Θ+ΔΘ) աստիճան տաքացնելիս միջին ջերմունակությունը կլինի՝

\[c_{միջ}=\frac{ΔW}{ΔΘ}:\]

Բայց, քանի որ ΔΘ-ն փոփոխելիս այդ միջին ջերմունակությունը, ընդհանրապես, փոփոխվում է, ուստի մենք չենք կարող այդ հարաբերությունն ընդունել որպես մարմնի ջերմունակություն տրված Θ ջերմաստիճանում։ Վերջինս ստանալու համար պետք է անցնել սահմանին՝

\[c=\lim_{ΔΘ \to 0}c_{միջ}=\lim_{ΔΘ \to 0}\frac{ΔW}{ΔΘ}:\]

Այսպիսով, կարելի է ասել, որ մարմնի ջերմունակությունը ջերմության քանակի ածանցյալն է ըստ ջերմաստիճանի։

Ածանցյալի բոլոր այս կիրառությունները (որոնց թիվը հեշտ կլիներ մեծացնել) բավարար պարզությամբ դրսևորում են այն փաստը, որ ածանցյալի գաղափարը էապես կապված է գիտության տարբեր բնագավառների հիմնական գաղափարների հետ, նպաստելով այդ գաղափարների հենց հայտնաբերմանը։

Ածանցյալների հաշվումը, ուսումնասիրումը և նրանց հատկությունների օգտագործումը հենց կազմում են դիֆերենցիալ հաշվի հիմնական առարկան։

Ածանցյալի նշանակման համար օգտագործում են տարբեր պայմանանշաններ (սիմվոլներ)՝
Լայբնից

\[\frac{dy}{dx}, \quad \frac{df(x_0)}{dx}\]

Լագրանժ
\[y', \quad f'(x_0)\]

Կոշի
\[Dy, \quad Df(x_0)\]

Մենք մեծ մասամբ կօգտվենք Լագրանժի պարզ նշանակումներից։ Եթե կիրառում են ֆունկցիոնալ նշանակումը (տես երկրորդ սյունը), ապա փակագծերի մեջ գրված x0 տառը ցույց է տալիս անկախ փոփոխականի հենց այն արժեքը, որի հանար վերցվում է ածանցյալը։ Վերջապես, նկատենք, որ այն դեպքերում, երբ կարող է կասկած առաջանալ այն փոփոխականի նկատմամբ, ըստ որի վերցրած է ածանցյալը (որի հետ բաղդատելով սահմանվում է «ֆունկցիայի փոփոխման արագությունը»), այդ փոփոխականը գրվում է նշանիկի տեսքով ներքևում՝

\[y'_x, f'_x(x_0), D_xy, D_xf(x_0),\]

ընդ որում, x նշանիկը կապ չունի անկախ փոփոխականի այն մասնիկի x0 արժեքի հետ, որի դեպքում հաշվում ենք ածանցյալը։
Այժմ վերևում ստացված մի քանի արդյունքներ գրենք, օգտվելով ածանցյալի համար մուծված սիմվոլներից։ Շարժման արագության համար ունենք՝

\[v= \frac{ds}{dt}\]

կամ v=s't,

իսկ արագացման համար՝

\[a=\frac{dv}{dt}\]

կամ a=v't:

Նույն ձևով, y=f(x) կորի շոշափողի անկյունային գործակիցը կգրվի այսպես՝

\[tgα=\frac{dy}{dx}\]

կամ tgα=y'և այլն։

Վերջին ավելացված նյութերը

Դեկտեմբերի 01 2019
Հոկտեմբերի 30 2019
Հոկտեմբերի 14 2019
Free Joomla! templates by AgeThemes