Հոդվածների այցերի քանակը
84226

Հավասարաչափ անընդհատության գաղափարը

Եթե f(x) ֆունկցիան որոշված է մի X միջակայքում (փակ կամ բաց, վերջավոր կամ անվերջ) և անընդհատ է այդ միջակայքի x0 կետում, ապա


\[\lim_{x \to x_0}f(x)=f(x_0),\]

կամ «ε-δ լեզվով»՝ յուրաքանչյուր ε>0 թվի համար կգտնվի այնպիսի δ>0 թիվ, որ |x-x0|<δ անհավասարությունից կհետևի |f(x)-f(x0)|<ε:

Այժմ ենթադրենք, թե f(x) ֆունկցիան անընդհատ է այդ միջակայքի յուրաքանչյուր x0 կետում։ Այդ դեպքում X-ի յուրաքանչյուր x0 կետի համար առանձին կգտնվի տրված ε-ին վերոհիշյալ իմաստով համապատասխանող δ թիվ։ Երբ x0-ն փոփոխվի X-ի սահմաններում, անգամ եթե ε-ը մնա հաստատուն, δ թիվը, ընդհանրապես ասած, կփոփոխվի։ Բավական է նայել 30-րդ գծագրին, որպեսզի համոզվենք, որ այն δ թիվը, որը պիտանի է այն հատվածում, որտեղ ֆունկցիան դանդաղ է փոփոխվում (գրաֆիկը հանդարտ բարձրացող կամ իջնող կոր է), կարող է լինել շատ մեծ այն հատվածի համար, որտեղ ֆունկցիան արագ է փոփոխվում (գրաֆիկը շեշտակի բարձրանում կամ իջնում է)։ Այլ խոսքով, δ թիվը ընդհանրապես կախված է ոչ միայն ε-ից, այլև x0-ից։

 գծագիր 30

Եթե խոսքը վերաբերեր վերջավոր թվով x0 արժեքների (անփոփոխ ε-ի դեպքում), ապա նրանց համապատասխանող վերջավոր թվով δ թվերից կարելի կլիներ ընտրել ամենափոքրը, և այդ վերջինը պիտանի կլիներ, ակներևաբար, դիտարկվող բոլոր x0 կետերի համար միաջամանակ։

Սակայն X միջակայքին պատկանող անվերջ բազմությամբ արժեքների նկատմամբ այդպես դատել արդեն չի կարելի․ դրանից (հաստատուն ε-ի դեպքում) համապատասխանում է δ թվերի անվերջ բազմություն, որոնց մեջ կարող են գտնվել նաև ցանկացած չափով փոքրեր։ Այսպիսով, X միջակայքում անընդհատ f(x) ֆունկցիայի համար ծագում է հետևյալ հարցը՝ արդյոք տրված ε-ի համար գոյություն ունի այնպիսի δ թիվ, որը պիտանի լինի այդ միջակայքի բոլոր x0 կետերի համար։
Եթե տրված յուրաքանչյուր ε>0 թվի համար կարելի է գտնել այնպիսի δ>0 թիվ, որ

|x-x0|<δ

անհավասարությունից հետևի՝

|f(x)-f(x0)|<ε

որտեղ էլ գտնվելու լինեն x0 և x կետերը դիտարկվող X միջակայքի սահմաններում, ապա f(x) ֆունկցիան անվանում են հավասարաչափ անընդհատ X միջակայքում։

Այս դեպքում δ թիվը կախված է դառնում միայն ε-ից և այն կարելի է նշել նախքան x0-ի ընտրությունը․ δ-ն պիտանի է դառնում x0-ի բոլոր արժեքների համար միաժամանակ։

Հավասարաչափ անընդհատությունը նշանակում է, որ միջակայքի բոլոր բասերում բավական է արգումենտի երկու արժեքների մոտիկության միևնույն աստիճանը․ որպեսզի հասնենք ֆունկցիայի համապատասխան արժեքների մոտիկության տրված աստիճանին։

Օրինակի վրա կարելի է ցույց տալ, որ միջակայքի բոլոր կետերում ֆունկցիայի անընդհատությունից անհրաժեշտորեն չի հետևում նրա հավասարաչափ անընդհատությունն այդ միջակայքում։ Դիտարկենք, օրինակ, f(x)= sin(1/x), երբ x-ը գտնվում է 0-ի և 2/π -ի միջև, բացառյալ 0-ն։ Այդ դեպքում՝ x-ի փոփոխման տիրույթը (0; π/2] ոչ փակ միջակայքն է և նրա յուրաքանչյուր կետում ֆունկցիան անընդհատ է։ Այժմ ընդունենք

\[x_0=\frac{2}{(2n+1)π}, x=\frac{1}{nπ}\]

որտեղ n-ը ցանկացած բնական թիվ է, այդ ժամանակ՝
\[f(x_0)=\sin(2n+1)\frac{π}{2}=±1, f(x)=\sin nπ=0,\]

ուստի

|f(x)-f(x0)|=1

Չնայած որ |x-x0|=1/(n(2n+1)π) մեծությունը n-ի աճման հետ կարելի է դարձնել ցանկացած չափով փոքր։ Այստեղ ε=1 դեպքում՝ չի կարելի գտնել այնպիսի δ, որը պիտանի լինի (0, 2/π]-ի բոլոր x0 կետերի համար միաժամանակ, թեև, ֆունկցիայի անընդհատության շնորհիվ, x0-ի յուրաքանչյուր առանձին արժեքի համար այդպիսի δ գոյություն ունի։

Վերջին ավելացված նյութերը

Դեկտեմբերի 01 2019
Հոկտեմբերի 30 2019
Հոկտեմբերի 14 2019
Free Joomla! templates by AgeThemes