Հոդվածների այցերի քանակը
84219

Հակադարձ ֆունկցիայի գոյությունը

Անընդհատ ֆունկցիայի՝ նախընթաց դասոում ուսումնասիրած հատկություններն օգտագործենք (որոշ պայմանների առկայության դեպքում) ապացուցելու համար միարժեք հակադարձ ֆունկցիայի գոյությունն ու անընդհատությունը, (համենատել այս հատկության հետ

Թեորեմա։ Դիցուք f(x) ֆունկցիան որոշված է, մոնոտոն աճում (նվազում) է և անընդհատ է մի որոշ X միջակայքում։ Այդ դեպքում այդ ֆունկցիայի արժեքների համապատասխան Y միջակայքում գոյություն ունի x=g(y) միարժեք հակադարձ ֆունկցիա, որը նույնպես մոնոտոն աճող (նվազող) է և անընդհատ։

Ապացուցում։ Սահմանափակվենք աճող ֆունկցիայի դեպքով։ Վերևում տեսանք (տես հետևանքը), որ անընդհատ ֆունկցիայի արժեքներն անընդմեջ լցնում են մի որոշ Y միջակայք, այնպես որ այդ միջակայքից վերցրած յուրաքանչյուր y0 արժեքի համար կգտնվի գոնե մեկ այնպիսի x0 արժեք (X-ից), որ՝

f(x0)=y0:

Սակայն, այդ ֆունկցիայի մոնոտոնության շնորհիվ, այդպիսի միայն մեկ արժեք կգտնվի․ եթե x1> կամ <x0, ապա, համապատասխանաբար f(x1)> կամ <f(x0):
Հենց այդ x0 արժեքը համապատասխանեցնելով Y-ից վերցրած կամայական y0 արժեքին, մենք կստանանք միարժեք ֆունկցիա՝

x=g(y)

որը y=f(x) ֆունկցիայի համար հակադարձ ֆունկցիա է։

Հեշտ է տեսնել, որ այդ g(y) ֆունկցիան, f(x) ֆունկցիայի նման, նույնպես մոնոտոն աճում է։ Դիցուք՝

y'<y'' և x'=g(y'), x''=g(y'').

այդ դեպքում, g(y) ֆունկցիայի սահմանման համաձայն, միաժամանակ՝

y'=f(x') և y''=f(x''):

Եթե լիներ x'>x'', ապա f(x) ֆունկցիայի աճման շնորհիվ, նաև կլիներ y' > y'', որ հակասում է պայմանին։ Չի կարող լինել նաև x'=x'', որովհետև այդ ժամանակ կլիներ նաև y'=y'', որ նույնպես հակասում է պայմանին։ Ուրեմն, հնարավոր է միայն x'<x'' անհավասարությունը, այնպես որ g(y) ֆունկցիան իրոք աճում է։

Վերջապես, որպեսզի ապացուցենք x=g(y) ֆունկցիայի անընդհատությունը, բավական է միայն վկայակոչել մոնոտոն ֆունկցիայի անընդհատության թեորեման, որի պայմաններն այստեղ բավարարված են․ x=g(y) ֆունկցիան մոնոտոն է, և նրա արժեքները, ակներևաբար, անընդմեջ լցնում են X միջակայքը։

Ապացուցված թեորեմայի օգնությամբ կարելի է միզ հայտնի մի շարք արդյունքներ նորից հաստատել։

Օրինակ, եթե այն կիրառենք xn ֆունկցիայի նկատմամբ X=[0, +∞) միջակայքում, (ն-ը բնական թիվ է), ապա կհանգենք

\[x= \sqrt[n]{y}\]

թվաբանական արմատի գոյությանն ու անընդհատությանը Y=[0, +∞) միջակայքում։

Վերջին ավելացված նյութերը

Դեկտեմբերի 01 2019
Հոկտեմբերի 30 2019
Հոկտեմբերի 14 2019
Free Joomla! templates by AgeThemes