Հոդվածների այցերի քանակը
84202

Մի քանի սահմանների հաշվումը

Ֆունկցիաների անընդհատությունը կարելի է բազմազան եղանակներով օգտագործել սահմաններ հաշվելիս։ Այստեղ մենք, հենվելով տարրական ֆունկցիաների անընդհատության վրա, ստանանք մի քանի կարևոր սահմաններ, որոնք մեզ պետք կգան հաջորդ գլխում․

\[1. \lim_{α \to 0} \frac{log_a (1+α)}{α}=log_a e \quad \left( \frac{0}{0} \right)\]

\[2. \lim_{α \to 0} \frac{a^α -1}{α}=ln a \quad  \left( \frac{0}{0} \right)\]

\[3. \lim_{α \to 0} \frac{(1+α )^μ -1}{α}=μ \quad \left( \frac{0}{0} \right)\]

Ունենք՝

\[\frac{log_a (1+α)}{α}=log_a (1+α)^{\frac{1}{α}}\]

և քանի որ աջ մասում լոգարիթմի տակ գրված արտահայտությունը ձգտում է e-ի, երբ α-ն ձգտում է զրոյի, ապա (լորարիթմական ֆունկցիայի անընդհատության համաձայն) նրա լոգարիթմը կձգտի logae-ին, որը և պետք էր ապացուցել։

Նշենք ապացուցված բանաձևի մի մասնավոր դեպք, երբ խոսքը վերաբերվում է բնական լոգարիթմին (a=e). այդ դեպքում՝

\[\lim_{α \to 0} \frac{ln(1+α)}{α}=1\]

Բնական լոգարիթմի սիստեմի առավելությունները, ըստ էության, արմատավորված են հենց այս արդյունքի պարզության մեջ։

Դառնալով 2) բանաձևին, նշանակենք aα – 1 = β. այդ դեպքում, երբ α ->0, (ցուցչային ֆունկցիայի անընդհատության շնորհիվ) նաև β->0։ Այնուհետև, ունենք, α=loga(1+β), այնպես որ, եթե օգտվենք արդեն ապացուցված արդյունքից, կստանանք՝

\[\lim_{α \to 0} \frac{a^α -1}{α}=\lim_{β \to 0}\frac{β}{log_a (1+β)} = \frac{1}{log_a e}=ln a\]

որը և պահանջվում էր ապացուցել։

Մասնավոր դեպքում, եթե վերցնենք α= 1/n (n= 1, 2, 3, …) ապա կստանանք հետաքրքիր բանաձև՝

\[\lim_{n \to +\infty}n(\sqrt[n]{a}-1)=ln a  \quad (\infty ⋅ 0)\]

Վերջապես, 3) բանաձևն ապացուցելու համար նշանակենք (1+α)μ-1 = β. երբ α->0 (աստիճանային ֆունկցիայի անընդհատության շնորհիվ) նաև β->0։ (1+α)μ = 1 + β հավասարությունը լոգարիթմելով, կստանանք՝

μln(1+α)=ln(1 + β)

այս առնչության օգնությամբ, տրված արտահայտությունը ձևափոխենք այսպես՝

\[\frac{(1+α )^μ -1}{α}=\frac{β}{α}=\frac{β}{ln(1+β)}⋅μ⋅\frac{ln(1+α)}{α}:\]

Ըստ ապացուցվածի,

\[\frac{β}{ln(1+β)}, \frac{ln(1+α)}{α}\]

երկու արտահայտություններն էլ ձգտում են 1-ի, այնպես որ ամբողջ արտադրյալը կունենա μ սահմանը, որը և պահանջվում էր ապացուցել։

Վերջին ավելացված նյութերը

Դեկտեմբերի 01 2019
Հոկտեմբերի 30 2019
Հոկտեմբերի 14 2019
Free Joomla! templates by AgeThemes