Հոդվածների այցերի քանակը
84767

Մոնոտոն ֆունկցիայի անընդհատության պայմանը

Դիտարկենք մի f(x) ֆունկցիա, որը X միջակայքում մոնոտոն աճում է (նվազում է)։ Այդ միջակայքը կարող է լինել ինչպես վերջավոր, այնպես էլ անվերջ, փակ, կիսաբաց կամ բաց։ Այժմ մենք կհաստատենք մի պարզ հայտանիշ, որի օգնությամբ այդ տիպի ֆունկցիաների համար անմիջապես կհայտնաբերվի նրա անընդհատությունն ամբողջ X միջակայքում։

Թեորեմա։ եթե x-ը X միջակայքում փոփոխվելիս f(x) մոնոտոն աճող (նվազող) ֆունկցիայի ընդունած արժեքների բազմությունը գտնվում է մի որոշ Y միջակայքում և անընդմեջ լցնում է այն, ապա f(x) ֆունկցիան անընդհատ է X միջակայքում։

X միջակայքից վերցնենք մի ցանկացած x0 կետ և, ենթադրելով, որ նա այդ միջակայքի աջ ծայրակետը չէ, ապացուցենք, որ f(x) ֆունկցիան x0 կետում աջից անընդհատ է․ նման ձևով կապացուցվի նաև ֆունկցիայի ձախից անընդհատությունը x0 կետում, եթե x0-ն դիտարկվող միջակայքի ձախ ծայրակետը չէ․ այստեղից էլ, միասին վերցրած, կհետևի թեորեմայի եզրակացությունը։

y0=f(x0) կետը պատկանում է Y միջակայքին, չլինելով նրա աջ ծայրակետը (չէ որ X-ում կան x0<x արժեքներ, իսկ դրանց համապատասխանում են y0<f(x)=y արժեքներ Y-ում)։ Թող ε-ը լինի կամայապես փոքր դրական թիվ․ մենք ենթադրենք նաև, որ նա այնքան փոքր է, որ y1=y0+ε արժեքը նույնպես պատկանում է Y միջակայքին։ Քանի որ, պայմանին համաձայն, Y={f(x)}, ապա X-ում կգտնվի այնպիսի x1 արժեք, որ
f(x1)=y1, ընդ որում, ակներևորեն, x1>x0 (քանի որ x≤x0 դեպքում կլիներ նաև f(x)≤y0)։ Նշանակենք δ=x1-x0, այնպես որ x1=x0+δ:

Եթե այժմ՝

0<x-x0<δ, այսինքն՝ x0<x<x1,

ապա՝

y0<f(x)<y1=y0+ε, կամ՝ 0<f(x)-f(x0)<ε:

Հենց այս էլ նշանակում է, որ

\[\lim_{x \to x_0 +0}=f(x_0)\]

այսինքն՝ f(x) ֆունկցիան իսկապես աջից անընդհատ է x0 կետում, որը և պահանջվում էր ապացուցել։
Բերված դիտողությունները պատկերված են նկարում։

Վերջին ավելացված նյութերը

Դեկտեմբերի 01 2019
Հոկտեմբերի 30 2019
Հոկտեմբերի 14 2019
Free Joomla! templates by AgeThemes