Հոդվածների այցերի քանակը
86548

Համարժեք անվերջ փոքրեր

Նշված օրինակներում α, β և γ տառերով նշանակված են x փոփոխականից ֆունկցիաներ։

Այժմ կանգ առնենք միևնույն կարգի անվերջ փոքրերի առանձնապես կարևոր մի դեպքի վրա։

α և β անվերջ փոքրերը կանվանենք համարժեք (նշանակելով α∼β), եթե նրանց β-α=γ տարբերությունը լինի ավելի բարձր կարգի անվերջ փոքր մեծություն, քան α և β անվերջ փոքրերից յուրաքանչյուրն է, այսինքն՝

\[γ=o(α), γ=o(β)\]

Ի միջի այլոց բավական է պահանջել, որ γ-ն այդ անվերջ փոքրերից միայն մեկի նկատմամբ լինի բարձր կարգի, որովհետև, եթե, օրինակ, γ-ն ավելի բարձր կարգի է, քան α-ն, ապա նա բարձր կարգի կլինի նաև β-ի նկատմամբ։ Իրոք,

\[\lim_{x \to a} \frac{γ}{α}=0\]

անհավասարությունից հետևում է, որ նաև

\[\lim_{x \to a} \frac{γ}{β}=\lim_{x \to a} \frac{γ}{α+γ}=\lim_{x \to a} \frac{γ}{1+\frac{γ}{α}}=0\]

Դիտարկենք α և β երկու համարժեք անվերջ փոքրեր, որտեղ β=α+γ և γ=o(α): Եթե մոտավորապես ընդունենք β≈α (≈ նշանը նշանակում է մոտավոր հավասարություն), ապա այդ երկու մեծությունների փոքրացման հետ միասին զրոյի կձգտի ոչ միայն այդ փոխարինման հետևանքով առաջացած բացարձակ սխալը, որը ներկայացվում է |γ| մեծությունով, այլև հարաբերական սխալանքը, որը հավասար է

\[\left| \frac{γ}{α} \right|\]

Այլ խոսքով, α-ի և β-ի բավականաչափ փոքր արժեքների դեպքում կարելի է ցանկացած չափով մեծ հարաբերական ճշգրտությամբ ընդունել β=α: Սրա վրա է հիմնված, մասնավոր հաշվումների ժամանակ, բարդ անվերջ փոքրերը նրանց նկատմամբ համարժեք պարզ անվերջ փոքրերով փոխարինելը։
Ստանանք երկու անվերջ փոքրերի համարժեքության մի օգտակար հայտանիշ, որն ըստ էության տալիս է այդ գաղափարի երկրորդ սահմանումը՝ նախորդին հավասարազոր․

α և β երկու անվերջ փոքրերի համարժեքության համար անհրաժեշտ է և բավարար, որպեսզի

\[\lim_{x \to a}\frac{β}{α}=1\]

Նշանակելով β-α=γ, կունենանք՝

\[\fracβα-1=\fracγα\]

Հենց այստեղից էլ անմիջապես բխում է մեր պնդումը։ Իրոք, եթե β/α->1, ապա γ/α->0, այսինքն՝ γ-ն ավելի բարձր կարգի անվերջ փոքր է, քան α-ն, և β∼α։

Հակադարձաբար, եթե տրված է, որ β∼α, ապա γ/α->0 և այդ ժամանակ β/α->1։

Այս հայտանիշի շնորհիվ, օրինակ, երևում է, որ x->0 դեպքում sin x անվերջ փոքրը համարժեք է x-ին, իսկ

\[\sqrt{1+x}-1\]
անվերջ փոքրը համարժեք է x/2-ին։ Այստեղից էլ ստանում ենք հետևյալ մոտավոր բանաձևերը՝

\[sin x≈x, \sqrt{1+x}-1≈\frac{x}2\]

Համարժեք անվերջ փոքրերի այս հատկությունն օգտագործվում է 0/0 տեսքի անորոշություններ բացելիս, այսինքն՝ երկու անվերջ փոքրերի β/α հարաբերության սահմանը որոնելիս։ Այդ ժամանակ կարելի է, առանց ազդելու սահմանի վրա, դրանցից յուրաքանչյուրը փոխարինել իրեն համարժեք որևէ անվերջ փոքրով։

Իրոք, եթե α'∼α β'∼β, այսինքն՝

\[\lim_{x \to a}\frac{α'}{α}=1,\lim_{x \to a}\frac{β'}{β}=1\]

ապա հետևյալ նույնությունից`

\[\frac{β}{α}=\frac{β}{β'}\frac{β'}{α'}\frac{α'}{α}\]

երևում է, որ β/α հարաբերությունը β'/α' հարաբերությունից տարբերվում է այնպիսի բազմապատկիչով, որոնք ձգտում են 1-ի․ հետևաբար՝ այդ հարաբերությունը միաժամանակ սահման ունեն, այն էլ՝ միևնույն սահմանը։

Եթե հաջողվում է գտնել բավականաչափ պարզα' և β' մեծություններ, ապա այդ կարող է խնդիրը միանգամից զգալի չափով պարզեցնել։ Օրինակ՝

\[\lim_{x \to 0}\frac{\sqrt{1+x+x^2}-1}{sin 2x}=\lim_{x \to 0}\frac{\frac12 \left(x+x^2\right)}{2x}=\frac{1}{4}:\]

Ապացուցածից նաև հետևում է, որ եթե երկու անվերջ փոքրեր համարժեք են երրորդին, ապա նրանք իրար ևս համարժեք են։

Վերջին ավելացված նյութերը

Դեկտեմբերի 01 2019
Հոկտեմբերի 30 2019
Հոկտեմբերի 14 2019
Free Joomla! templates by AgeThemes