Հոդվածների այցերի քանակը
84786

Վերջավոր սահմանի գոյության պայմանը բնական արգումենտի ֆունկցիայի համար

Դիցուք տրված է xn փոփոխականը, որի արժեքները կազմում են x1, x2, x3, …, xn, …, xn', … հաջորդականությունը․ զբաղվենք, վերջապես, այդ փոփոխականի (կամ, որ նույնն է, x1, x2, x3, …, xn, …, xn', … հաջորդականության) համար վերջավոր սահմանի գոյության ընդհանուր հայտանիշի հարցով։ Սահմանի սահմանումն ինքն այդ նպատակին ծառայել չի կարող, քանի որ նրանում արդեն իսկ մասնակցում է հենց այն սահմանը, որի գոյության մասին է խոսքը։ Մենք կարիք ունենք այնպիսի հայտանիշի, որն օգտագործեր լոկ այն, ինչը մեզ տրված է, այն է՝ փոփոխականի արժեքների x1, x2, x3, …, xn, …, xn', … հաջորդականությունը։

Առաջադրված հարցը լուծում է հետևյալ նշանավոր թեորեման, որը պատկանում է բոլցանոյին (1817) ու Կոշիին (1821) այն հաճախ զուգամիտության սկզբունք են անվանում։

Թեորեմ։ xn փոփոխականի վերջավոր սահմանի գոյության համար անհրաժեշտ է և բավարար, որպեսզի յուրաքանչյուր ε>0 թվին համապատասխան գոյություն ունենա այնպիսի N համար, որ

\[x_n – x_{n'} <ε\]

անհավասարությունը բավարարվի, հենց որ n>N և n' >N:

Ինչպես ընթերցողը տեսնում է, այստեղ հարցի էությունն այն է, որպեսզի փոփոխականի արժեքները միմյանց անվերջորեն մոտենան՝ նրանց համարների աճման ընթացքում։ Դառնանք թեորեմայի ապացուցմանը։

Անհրաժեշտությունը։ դիցուք xn փոփոխականն ունի որոշակի վերջավոր սահման, ասենք թե՝ a: Հենց սահմանի սահմանման համաձայն, ինչպիսին էլ լինի ε>0 թիվը, ε/2 թվին համապատասխան կգտնվի այնպիսի N համար, որ N<n-երի համար միշտ տեղի կունենա

\[|x_n – a| < \fracε2\]

անհավասարությունը։ Այժմ վերցնենք որևէ երկու համար՝ n և n' այնպես, որ n>N, n'>N. դրանց համար միաժամանակ կունենանք՝

\[|x_n – a|<\frac{ε}{2} և |x_{n'}-a|<\frac{ε}{2}\]

որտեղից կհետևի՝

\[|x_n – x_{n'}|=|(x_n – a)+(a-x_{n'})|≤|(x_n – a)|+|(x_n – a)|<\frac{ε}{2} +\frac{ε}{2}= ε\]

Այսպիսով ապացուցվեց պայմանի անհրաժեշտությունը։ Զգալիորեն դժվար է ապացուցել նրա բավարար լինելը։

Բավարարությունը։ Այստեղ է, որ մենք կիրառելու ենք Բոլցանո-Վայերշտրասսի լեմման։

Այսպես ուրեմն, դիցուք պահանջվող պայմանը բավարարված է և տրված ε>0 թվին համապատասխան գտնված է այնպիսի N համար, որ N<n և N<n'-ի համար տեղի ունի

\[|x_n – a| < \fracε2\]
անհավասարությունը։ Եթե այդպես ընտրելուց հետո n'-ը սևեռենք (պահպանենք անփոփոխ) և
\[x_n – x_{n'} <ε\]
-ն արտագրենք այսպես՝

\[x_{n'} – ε<x_n<x_{n'} +ε\]

ապա կտեսնենք, որ xn փոփոխականը, համենայն դեպս, սահմանափակ կլինի․ N<n-երի համար նրա արժեքները գտնվում են xn'- ε և xn'+ ε թվերի միջև և դժվար չի լինի դրանց փոխարեն երկու այնպիսի թվեր վերցնել, որպսզի ընդգրկվեն նաև մյուս N հատ` x1, x2, …, xN արժեքները։ Հետևաբար, Բոլցանոյի-Վայերշտրասսի լեմմայի համաձայն, այդ սահմանափակ հաջորդականությունից կարելի է առանձնացնել այնպիսի xnk մասնակի հաջորդականություն, որը ձգտի մի c վերջավոր սահմանի՝

\[\lim_{k \to \infty}x_{n_k}=c\]

Ցույց տանք, որ ընդհանրապես այդ նույն սահմանին կձգտի նաև xn փոփոխականը։ Դրա համար k-ն այնքան մեծ վերցնենք, որպեսզի

\[|x_{n_k}-c|< ε, n_k>N\]

Այդ դեպքում
\[x_n – x_{n'} <ε\]
անհավասարությունում ընդունելով n'=nk, կունենանք՝
\[|x_n-x_{n_k}|< ε\]

Համադրելով երկու անհավասարությունները, վերջնականապես կունենանք՝
\[|x_n-c|< 2ε, երբ n>N\]

Որը և ապացուցում է մեր պնդումը։ (2ε թիվը նույնչափ «ցանկացած չափով փոքր» թիվ է, ինչպես և ε-ը։ Անշուշտ, կարելի էր սկզբից վերցնել ոչ թե ε, այլ ε/2, և այն ժամանակ այստեղ կստանայինք ε։ Նման հաշվարկները առաջիկայում թողնելու ենք ընթերցեղին։)

Վերջին ավելացված նյութերը

Դեկտեմբերի 01 2019
Հոկտեմբերի 30 2019
Հոկտեմբերի 14 2019
Free Joomla! templates by AgeThemes