Հոդվածների այցերի քանակը
86583

e թիվը որպես հաջորդականության սահման

Մենք այստեղ սահմանային անցումը կօգտագործենք մի նոր, մինչև այժմ մեզ չպատահած, թիվ որոնելու համար։ Այն բացառիկ կարևոր նշանակություն ունի ինչպես անալիզում, այնպես էլ նրա կիրառությունների համար։

Վերցնենք հետևյալ փոփոխականը՝


\[x_n = \left( 1+\frac{1}{n} \right)^n\]

և փորձենք նրա նկատմամբ կիրառել մոնոտոն հաջորդականության մասին թեորեման։

Քանի որ n ցուցիչի աճման հետ միասին աստիճանի հիմքը նվազում է, ապա փոփոխականի «մոնոտոն» բնույթն այստեղ անմիջապես չի երևում։ Որպեսզի համոզվենք, որ նա իրոք մոնոտոն է, դիմենք երկանդամի բանաձևին`

\[x_n = \left( 1+\frac{1}{n}\right)^n = 1 + n⋅\frac1n + \frac{n(n-1)}{1⋅2}⋅\frac1{n^2}+\]

\[+ \frac{n(n-1)(n-2)}{1⋅2⋅3}⋅\frac1{n^3}+...+\frac{n(n-1)...(n-k+1)}{1⋅2⋅3⋅...⋅k}⋅\frac1{n^k}+...\]

\[...+\frac{n(n-1)...(n-n+1)}{1⋅2⋅3⋅...⋅n}⋅\frac{1}{n^n}=1+1+\frac1{2!}\left( 1-\frac1n \right)+\]

\[+\frac1{3!}\left(1-\frac1n \right)\left( 1-\frac2n\right)+...+\frac1{k!}\left(1-\frac1n \right)\left( 1-\frac2n\right)...\]

\[...\left(1-\frac{k-1}n\right)+...+\frac1{n!}\left(1-\frac{1}n\right)\left(1-\frac{2}n\right)...\left(1-\frac{n-1}n\right):\]

Եթե xn-ից անցնենք xn+1-ին,  այսինքն՝ n-ը մեծացնենք մեկ միավորով, ապա, նախ, կավելանա մի նոր, (n+2)-րդ անդամ (դրական), և, բացի այդ, արդեն գրված (n+1) անդամներից ամեն մեկը կմեծանա, որովհետև փակագծերում գրված 1- s/n յուրաքանչյուր բազմապատկիչ կփոխարինվի իրենից մեծ

\[1-\frac s{n+1}\]
բազմապատկիչով։ Այսպիսով, ստացվում է, որ

\[x_{n+1}>x_n\]

այսինքն՝ xn փոփոխականն աճող է։

Այժմ ցունց տանք, որ վերևից սահմանափակ է։ xn-ի համար վերը ստացված արտահայտությունում դեն նետելով փակագծերում գրված բոլոր արտադրիչները, մենք այդ արտահայտությունը կմեծացնենք, այնպես որ՝

\[x_n < 2 + \frac 1{2!} + \frac 1{3!}+...  + \frac 1{n!}=y_n\]

Այս արտահայտության մեջ բոլոր հայտարարներում բոլոր արտադրիչներն, սկսած 3-ից, փոխարինենք 2-ով, մենք նորից կմեծացնենք այդ արտահայտությունը՝

\[y_n < 2+\frac12 + \frac1{2^2}+...+\frac 1{2^{n-1}}:\]

Սակայն 1/2 անդամից սկսվող պրոգրեսիան ունի 1-ից փոքր գումար, ուստի yn<3, նշանակում է առավել ևս xn<3:

Այստեղից էլ հետևում է, մոնոտոն հաջորդականության զուգամիտության թեորեմայի համաձայն, որ xn փոփոխականը վերջավոր սահման ունի։ Էյլերի օրինակով այդ սահմանը միշտ նշանակում են e տառով։

\[e=\lim_{n \to +\infty}\left(1+\frac 1n\right)^n :\]

Մենք ի նկատի ունենք հենց այս թիվը։ Ահա այդ թվի տասնորդական վերլուծության սկզբի 15 թվանշանները՝

e=2.7 1828 18284 59045...:

Վերջին ավելացված նյութերը

Դեկտեմբերի 01 2019
Հոկտեմբերի 30 2019
Հոկտեմբերի 14 2019
Free Joomla! templates by AgeThemes