Հոդվածների այցերի քանակը
84219

Ներդրված միջակայքերի լեմման

Այժմ կանգ առնենք իրար «հանդիպակաց» ուղղությամբ փոփոխվող երկու մոնոտոն փոփոխականների զուգակցման վրա։
Դիցուք տրված են մոնոտոն աճող xn փոփոխականը և մոնոտոն նվազող yn փոփոխականը, ընդ որում միշտ՝

xn<yn:

Եթե նրանց yn-xn տարբերությունը ձգտում է զրոյի, ապա երկու փոփոխականներն ունեն մի ընդհանուր վերջավոր սահման՝

c=lim xn=lim yn:

Իսկապես, xn<yn պայմանից բխում է, որ

xn<yn≤y1

և

yn>xn≥x1,

այնպես, որ մոնոտոն աճող xn փոփոխականը սահմանափակ է վերևից, իսկ մոնոտոն նվազող yn փոփոխականը՝ ներքևից, հետևաբար, նրանք երկուսն էլ ունեն վերջավոր սահմաններ՝

lim xn = c և lim yn = c':

Սակայն մեր արդեն դիտարկված թեորեմայի համաձայն ունենք՝

c-c'= lim(yn-xn),

որը, պայմանի համաձայն հավասար է զրոյի։ Ուրեմն c'=c, որը և պահանջվում էր ապացուցել։

Ապացուցած թեորեմային կարելի է տալ ուրիշ ձև, որն ավելի հաճախ է կիրառվում։

Պայմանավորվենք ասել, որ [a', b'] միջակայքը պարունակվում է կամ ներդրված է [a, b] միջակայքում, եթե առաջին միջակայքի բոլոր կետերը պատկանում են երկրորդ միջակայքին, կամ, որ միևնույնն է, եթե

a≤a'<b'≤b:

Դրա երկրաչափական իմաստը պարզ է։

Դիցուք մենք ունենք ներդրված միջակայքերի մի անվերջ հաջորդականություն՝

[a1, b1], [a2, b2], …, [an, bn], …

որոնցից յուրաքանչյուրը ներդրված է իր նախորդի մեջ, ընդ որում նրանց երկարությունները, երբ n-ը աճում է, ձգտում է զրոյի՝

lim (bn-an)=0

Այդ դեպքում միջակայքերի an և bn ծայրակետերը (տարբեր կողմերից) ձգտում են ընդհանուր սահմանի՝

c= lim an= lim bn,

որը բոլոր միջակայքերի համար միակ ընդհանուր կետն է։

Այս՝ վերևում ապացուցված թեորեմայի նոր ձևակերպումն է․ պայմանի համաձայն՝

an≤an+1<bn+1≤bn,

այնպես որ, n-րդ միջակայքի an ձախ ծայրը և bn աջ ծայրն այստեղ xn և yn մոնոտոն փոփոխականների դեր են կատարում։

Քանի որ an-ը c-ին ձգտում է աճելով, իսկ bn-ը՝ նվազելով, ապա

an≤c≤bn (n=1, 2, 3,...),

Այսինքն՝ c կետն իրոք որ պատկանում է բոլոր միջակայքերին։

Միևնույն ժամանակ, չի կարող լինել c-ից տարբեր մի այլ c' կետ, որն ունենա միևնույն հատկությունները, այլապես կլիներ

bn-an≥|c'-c|>0

և n-րդ միջակայքի երկարությունը չեր կարող զրոյի ձգտել։

Հետագայում մենք հաճախ ենք հենվելու այս առաջադրության վրա, որն անվանելու ենք «ներդրված միջակայքերի լեմմա»։

Վերջին ավելացված նյութերը

Դեկտեմբերի 01 2019
Հոկտեմբերի 30 2019
Հոկտեմբերի 14 2019
Free Joomla! templates by AgeThemes