Հոդվածների այցերի քանակը
84804

Սահմանի անցում հավասարությունում և անհավասարությունում

xn և yn երկու փոփոխականները միացնելով հավասարության կամ անհավասարության նշանով, մենք միշտ հասկանում ենք, որ խոսքը նրանց համապատասխան արժեքների մասին է, այսինքն՝ միևնույն համարն ունեցող արժեքների մասին է։

1) Եթե xn և yn երկու փոփոխականները իրենց փոփոխման ընթացքում միշտ իրար հավասար են՝ xn=yn, ընդ որում նրանցից յուրաքանչյուրն ունի վերջավոր սահման՝

limxn=a, limyn=b

Ապա այդ սահմանները ևս իրար հավասար են՝ a=b։

Անմիջապես հետևում է սահմանի միակության թեորեմից։

Սովորաբար այս թեորեմից օգտվում են հավասարության մեջ սահմանային անցման ձևով․ xn=yn հավասարությունից եզրակացնում են , որ lim xn = lim yn:

2) Եթե xn և yn երկու փոփոխականների համար միշտ տեղի ունի xn≥yn անհավասարությունը, ընդ որում նրանցից յուրաքանչյուրն ունի վերջավոր սահման՝

limxn=a, limyn=b,

ապա նաև a≥b:

Ենթադրենք հակառակը, թող a<b: Դիտարկելով այնպես, ինչպես այս նախորդ թեմայում, a և b թվերի միջև վերցնենք մի r թիվ՝ a<r<b։ Այն ժամանակ, մի կողմից՝ կգտնվի այնպիսի N' համար,որ n>N' դեպքում կլինի xn<r, մյուս կողմից, կգտնվի նաև այնպիսի N'' համար, որ n>N'' դեպքում կլինի yn>r։ Եթե այժմ N-ը վերցնենք N'-ից և N''-ից մեծ, ապա n>N դեպքում միաժամանակ տեղի կունենան երկու անհավասարությունները՝

xn<r և yn>r

որտեղից կբխի, որ xn<yn, որը սակայն հակասում է թեորեմի պայմանին։ Թեորեման ապացուցվեց։

Այս թեորեման հաստատում է սահմանային անցման թույլատրելիությունն անհավասարության մեջ (հավասարության հետ միացած)։ xn≥yn անհավասարությունից կարելի է եզրակացնել lim xn≥lim yn:

Իհարկե > նշանը կարելի է ամենուրեք փոխարինել < նշանով։

Ընթերցողի ուշադրությունը պիտի հրավիրել այն հանգամանքի վրա, որ xn>yn խիստ անհավասարությունից, ընդհանրապես ասած, չի բխում նույնպիսի խիստ lim xn>lim yn անհավասարություն, այլ, առաջվա նման, միայն՝ lim xn≥lim yn: Այսպես, օրինակ, բոլոր n-երի համար տեղի ունի 1/n>-1/n խիստ անհավասարությունը, բայց և այնպես՝

lim 1/n = lim (-1/n) =0:

Փոփոխականի սահմանի գոյությունն ապացուցելիս և նրա մեծությունն որոշելիս հաճախ օգտակար է լինում հետևյալ թեորեման՝

3) Եթե xn, yn, zn փոփոխականների համար միշտ տեղի ունեն

xn≤yn≤zn

անհավասարությունները, ընդ որում xn և zn փոփոխականները ձգտում են a ընդհանուր սահմանին՝

lim xn= lim zn = a

ապա yn փոփոխականը նույնպես ունի նույն սահմանը՝

lim yn = a:

Վերցնենք ε>0 կամայական թիվը։ Այդ ε-ի համար նախ կգտնվի այնպիսի N' համար, որ n>N' դեպքում տեղի կունենա՝

a-ε<xn<a+ε:

Այնուհետև կգտնվի այնպիսի N'' համար, որ n>N'' դեպքում տեղի կունենա՝

a-ε<zn<a+ε

N-ը վերցնելով N' և N'' թվերից մեծ, այդ անհավասարությունները կբավարարվեն միաժամանակ, ուստի և՝

a-ε<xn≤yn≤zn<a+ε

որից հետևում է՝

a-ε<yn<a+ε

կամ՝

|yn-a|<ε

Այսպիսով, իսկապես lim yn=a:

Ապացուցված թեորեմից, մասնավորապես հետևում է, որ եթե բոլոր n-երի համար

a≤yn≤zn

և հայտնի է, որ zn->a, ապա նաև yn->a։ Ի միջի այլոց, այդ շատ հեշտ է ապացուցել նաև անմիջականորեն։

1), 2) և 3) թեորեմները հեշտությամբ տարածվում են նաև անվերջ սահմանների դեպքի վրա։

Վերջին ավելացված նյութերը

Դեկտեմբերի 01 2019
Հոկտեմբերի 30 2019
Հոկտեմբերի 14 2019
Free Joomla! templates by AgeThemes