Հոդվածների այցերի քանակը
84818

Հատվածների չափումը

Ռացիոնալ թվերի բազմության սահմաններում մնալով, բոլոր հատվածները երկարությամբ օժտելու անհնարինությունը նույնպես շատ կարևոր առիթ է եղել իռացիոնալ թվերի մուծման համար։ Այժմ ցույց տանք, որ թվային բազմության՝ վերը կատարված ընդլայնումը բավական է հատվածների չափման խնդիրը լուծելու համար։

Ամենից առաջ ձևակերպենք այդ խնդիրն՝ ինքը։

Պահանջվում է յուրաքանչյուր A ուղղագիծ հատվածի հետ կապել մի որոշ l(A) իրական դրական թիվ (որն այնուհետև կանվանենք «A հատվածի երկարություն») այնպես, որպեսզի՝

  1. մի որոշ նախապես ընտրած E հատված (“երկարության ստուգման նմուշ, էտալոն”) ունենա մեկ երկարություն՝ l(E)=1,

  2. հավասար հատվածներն ունենան նիևնույն երկարությունը,

  3. հատվածները գումարեկիս գումարի երկարությունը միշտ հավասար լինի գումարվող հատվածների երկարությունների գումարին՝ l(A+B)=l(A)+l(B) [“գումարականության ադիտիվության հատկություն”]։

Առաջադրված պայմանները բերում են խնդրի միարժեք լուծման։ 2) և 3) պայմաններից ետևում է, որ էտալոնի q-րդ մասը պետք է ունենա 1/q երկարություն, իսկ եթե այդ մասն իբրև գումարելի կրկնված է p անգամ, ապա ստացված հատվածը, 3) հատկության շնորհիվ, պետք է ունենա p/q երկարություն։ Այսպիսով, եթե A հատվածը համաչափելի է երկարության E էտալոնի հետ և A ու E հատվածների ընդհանուր չափը նրանց մեջ տեղավորվում է համապատասխանաբար p և q անգամ, անհրաժեշտաբար՝

l(A)=p/q:

Հեշտ է տեսնել, որ այդ թիվը կախված չէ վերցրած ընդհանուր չափից, և որ, եթե էտալոնի հետ համաչափելի հատվածներին վերագրենք հենց այդ կանոններով ստացվող ռացիոնալ երկարությունները, ապա այդ հատվածների համար չափման խնդիրը լիովին լուծված կլինի։

Դիմելով ընդհանուր դեպքին, նկատենք, որ եթե A հատվածը մեծ է B հատվածից, այնպես, որ A=B+C, որտեղ C-ն նույնպես մի որոշ հատված է, ապա 3) հատկության շնորհիվ կլինի՝

l(A)=l(B)+l(C),

և, քանի որ l(C)>0, ապա l(A)>l(B): Այսպես, ուրեմն, անհավասար հատվածները պետք է ունենան անհավասար երկարություններ, այն է՝ մեծ հատվածը պետք է ունենա մեծ երկարություն։

Քանի որ յուրաքանչյուր p/q դրական ռացիոնալ թիվ հանդիսանում է երկարության E էտալոնի հետ համաչափելի մի որոշ հատվածի երկարություն, ապա մեր ասածից, ի միջի այլոց, պարզ երևում է, որ էտալոնի հետ անհամաչափելի ոչ մի հատված չի կարող ռացիոնալ երկարություն ունենալ։

Այժմ ենթադրենք, թե S''-ը E էտալոնի հետ անհամաչափելի հատված է։ Կգտնվեն անթիվ բազմությամբ S և S' հատվածներ, որոնք համաչափելի են E-ի հետ և համապատասխանաբար մեծ են կամ փոքր են S''-ից։ Եթե նրանց երկարությունները նշանակենք s և s'` l(S)=s, l(S')=s', ապա որոնելի l(S'') պետք է բավարարի հետևյալ անհավասարություններին՝

s<l(S'')<s:

Եթե բոլոր ռացիոնալ թվերը տրոհենք երկու S և S' դասերի այնպես, որ S-ի մեջ ընկնեն բոլոր s թվերն, ինչպես նաև բոլոր բացասական թվերն ու 0-ն, իսկ S' դասի մեջ՝ s' թվերը, ապա կստանանք հատույթ ռացիոնալ թվերի բազմության մեջ։ Քանի որ, ակներևաբար, ստորին դասի մեջ չկա ամենամեծ թիվ, իսկ վերին դասի մեջ չկա ամենափոքրը, ապա այդ հատույթներով վորոշվում է մի s'' իռացիոնալ թիվ, որը կլինի s<s''<s' անհավասարություններին բավարարող միակ իրական թիվը։ Հենց այդ թիվն էլ անհրաժեշտ է ընդունել l(S'') երկարություն։

Վերջին ավելացված նյութերը

Դեկտեմբերի 01 2019
Հոկտեմբերի 30 2019
Հոկտեմբերի 14 2019
Free Joomla! templates by AgeThemes