Հոդվածների այցերի քանակը
84786

Ֆունկցիայի սահմանափակ լինելու վերաբերյալ թեորեման

Նախորդ դասում ապացուցված լեմմայի օգնությամբ ամենից առաջ կարելի է ապացուցել Վայերշտրասի 1-ին թեորեման երկու փոփոխականների ֆունկցիայի համար։

Թեորեմա։ Եթե f(x,y) ֆունկցիան որոշված ու անընդհատ է D սահմանափակ փակ տիրույթում (որն այս անգամ կարող է կապակցված չլինել), ապա այն սահմանափակ է ինչպես վերևից, այնպես էլ ներքևից, այսինքն՝ նրա բոլոր արժեքները գտնվում են երկու վերջավոր եզրերի միջև՝

\[m \leq f(x,y) \leq M:\]

Ապացուցումը (հակասող ենթադրությամբ) միանգամայն նման է մեկ փոփոխականի դեպքի դասում արված դատողությանը։ Դիցուք f(x,y) ֆունկցիան, երբ (x,y)-ը փոփոխվում է D-ում, անսահմանափակ է, ասենք թե վերևից։ Այդ ժամանակ ցանկացած n-ի համար D-ում կգտնվեր այնպիսի

\[M_n(x_n, y_n)\]

կետ, որ

\[f(x_n, y_n) > n:\]

Ըստ Բոլցանո-Վայերշտրասի լեմմայի,

\[M_n\]

սահմանափակ հաջորդականությունից կարելի է ընտրել այնպիսի

\[M_{n_k}\]

մասնակի հաջորդականություն, որը զուգամիտի M'(x',y') սահմանային կետի։

Նկատենք, որ այդ M' կետը անպայման կպատկանի D տիրույթին։ Իրոք, հակառակ դեպքում

\[M_{n_k}\]

կետերը բոլորը նրանից տարբեր կլինեին, և M' կլիներ D տիրույթի խտացման կետ, որը նրան չէր պատկանի, իսկ վերջինս հնարավոր չէ D տիրույթի փակ լինելու պատճառով (բաց և փակ տիրույթների սահմանումն այստեղ

M կետում ֆունկցիայի անընդհատության հետևանքով պետք է տեղի ունենա հետևյալը՝

\[f(M_{n_k})=f(x_{n_k}, y_{n_k}) \to f(M')=f(x',y'),\]

իսկ այս հակասում է

\[f(x_n, y_n) > n:\]

անհավասարություններին։

Վայերշտրասի 2-րդ թեորեման ձևակերպվում և ապացուցվում է ճիշտ այնպես, ինչպես ֆունկցիայի մեծագույն և փոքրագույն արժեքների դասում մեկ փոփոխականի համար։

Նկատենք, որ դատողությունների մեջ առանց էական փոփոխությունների, Վայերշտրասի երկու թեորեմաներն էլ փոխանցվում են այն դեպքի վրա, երբ ֆունկցիան անընդհատ է ցանկացած փակ սահմանափակ փակ M բազմությունում (թեկուզ և նա իրենից տիրույթ չներկայացնող)։

Այբնպես, ինչպես մեկ փոփոխականի ֆունկցիայի դեպքում, f(x,y) ֆունկցիայի համար, որը որոշված է ու սահմանափակ M բազմությունում, M-ում ֆունկցիայի արժեքների վերին և ստորին ճշգրիտ եզրերի տարբերությունը կոչվում է նրա տատանում այդ բազմությունում։ Եթե M-ը սահմանափակ է և փակ (մասնավորապես եթե M-ը սահմանափակ փակ տիրույթ է) և f-ը այնտեղ անընդհատ է, ապա տատանումը պարզապես նրա մեծագույն և փոքրագույն արժեքների տարբերությունն է։

Վերջին ավելացված նյութերը

Դեկտեմբերի 01 2019
Հոկտեմբերի 30 2019
Հոկտեմբերի 14 2019
Free Joomla! templates by AgeThemes