Հոդվածների այցերի քանակը
86530

Բոլցանոյի-Վայերշտրասի լեմման

Հետագա շարադրանքի համար մեզ պետք է գալու զուգամիտության մասին մասնակի հաջորդականությունների դասի լեմմայի ընդհանրացումը ցանկացած թվով չափում ունեցող տարածության մեջ կետերի հաջորդականության դեպքում։ Պայմանավորվենք այդ տարածությունում կետերի M բազմությունն անվանել սահմանափակ, եթե եթե այդ բազմությունը գտնվում է մի որոշ զուգահեռանիստի մեջ։ Ինչպես միշտ, կանգ առնենք միայն ”հարթ” դեպքի վրա։

Լեմմա կետերի ցանկացած

\[M_1(x_1,y_1),M_2(x_2,y_2), …, M_n(x_n,y_n), ...\]

սահմանափակ հաջորդականությունից միշտ կարելի է առանձնացնել այնպիսի մասնակի հաջորդականություն՝
\[M_{n_1}(x_{n_1}, y_{n_1}),M_{n_2}(x_{n_2}, y_{n_2}),...,M_{n_k}(x_{n_k}, y_{n_k}),...\]

\[(n_1<n_2<...<n_k<..., n_k \to \infty )\]

որը ձգտի սահմանային կետի։

Ապացուցումն ամենից հեշտ կկատարվի, եթե օգտվենք գծային հաջորդականության համար զուգամիտության սկզբունքների մասնակի հաջորդականության դասում արդեն ապացուցված լեմմայից։

Քանի որ հաջորդականությունը սահմանափակ է, ապա նրա բոլոր կետերը գտնվում են մի որոշ [a, b; c, d] ուղղանկյունում, այնպես որ՝

\[a \leq x_n \leq b, \quad c \leq y_n \leq d \quad (n = 1, 2, 3, ...)\]

Զուգամիտության սկզբունքների մասնակի հաջորդականության դասի լեմման նախ կիրառելով
\[x_n\]

հաջորդականության նկատմամբ, կառուցենք մի
\[x_{n_k}\]

մասնակի հաջորդականություն, որը ձգտում է մի որոշակի x' սահմանի։ Այսպիսով, կետերի
\[(x_{n_1}, y_{n_1}), …, (x_{n_2}, y_{n_2}), …, (x_{n_k}, y_{n_k}), ...\]

մասնակի հաջորդականության համար առաջին կոորդինատներն արդեն ունեն սահման։ Հիշատակված լեմման երկրորդ անգամ կիրառենք երկրորդ կոորդինատների
\[y_{m_k}\]

հաջորդականության նկատմամբ և նրանից առանձնացնենք այնպիսի
\[y_{n_{k_i}}\]

մասնակի հաջորդականություն, որը նույնպես կձգտի որոշակի y' սահմանի։ Այդ դեպքում, ակներևաբար,
\[(x_{n_{k_1}},y_{n_{k_1}}), …, (x_{n_{k_i}},y_{n_{k_i}}), ...\]

կետերի մասնակի հաջորդականությունը կձգտի (x', y') սահմանային կետին։

Այստեղ ևս արված դատողությունները հեշտությամբ տարածվում են m-չափանի (m>2) տարածության դեպքի վրա, միայն մասնակի հաջորդականությունների առանձնացումը պետք է կրկնել ոչ թե երկու անգամ, այլ m անգամ։

Վերջին ավելացված նյութերը

Դեկտեմբերի 01 2019
Հոկտեմբերի 30 2019
Հոկտեմբերի 14 2019
Free Joomla! templates by AgeThemes