Հոդվածների այցերի քանակը
84179

Ֆունկցիայի զրո դառնալու վերաբերյալ թեորեման

Այժմ զբաղվենք մի քանի փոփոխականների այնպիսի ֆունկցիաների հատկությունների ուսումնասիրությամբ, որոնք անընդհատ են m չափանի տարածության մի որոշ D տիրույթի բոլոր կետերում (կամ, ավելի կարճ՝ D տիրույթում)։

Այդ հատկությունները լիովին նման են մեկ փոփոխականի՝ միջակայքում անընդհատ ֆունկցիաների հատկություններին։

Շարադրելիս, լոկ կարճության համար, կսահմանափակվենք երկու անկախ փոփոխականների դեպքով։ Ընդհանուր դեպքի վրա տարածելը կատարվում է անմիջականորեն և առանձին դժվարություն չի ներկայացնում։ Ի միջի այլոց, այդ առթիվ որոշ դիտողություններ կարվեն զուգընթացաբար։
Բոլցանո-Կոշիի առաջին թեորեմային համանման թեորեման ձևակերպելու համար մեզ անհրաժեշտ է ծանոթանալ կապակցված տիրույթի գաղափարին․ այդպես է կոչվում այնպիսի տիրույթը, որի ցանկացած երկու կետերը կարելի է միացնել իր բոլոր կետերով այդ տիրույթում գտնվող բեկյալով։

Թեորեմա։ Դիցուք f(x, y) ֆունկցիան որոշված ու անընդհատ է D կապակցված տիրույթում։ Եթե այդ տիրույթի M'(x', y') և M''(x'', y'') երկու կետերում ֆունկցիան ընդունում է տարբեր նշանով արժեքներ՝

f(x', y')<0, f(x'', y'')>0

ապա այդ տիրույթում կգտնվի նաև այնպիսի M0(x0, y0) կետ, որտեղ ֆունկցիան դառնում է զրո՝

f(x0, y0)=0:

ապացուցումը կառուցենք մեկ անկախ փոփոխականի ֆունկցիայի դեպքին հանգեցնելով։

D տիրույթի կապակցված լինելու շնորհիվ, M' և M'' կետերը կարելի է միացնել այնպիսի բեկյալով, որն ամբողջությամբ գտնվում է D-ում։ Եթե այդ բեկյալի գագաթներից որևէ մեկում f(x,y) ֆունկցիան հավասարվում է զրոյի, թեորեմայի պնդումն արդարացված է։ Հակառակ դեպքում, բեկյալի կողմերը մեկ առ մեկ ստուգելով, մենք կհանդիպենք մի այնպիսի ուղղագիծ հատվածի, որի ծայրակետերում ֆունկցիան ընդունում է հակառակ նշաններով արժեքներ։ Այսպիսով, կարելի էր, ընդհանրությունը չնբազեցնելով, սկզբից և ետ համարել, որ հենց M'M'' ուղղագիծ հատվածը, որն ունի

\[x=x'+t(x''-x')\]

\[y=y'+t(y''-y'), \quad ( 0 \leq t \leq 1) \]

հավասարումները, իր բոլոր կետերով պատկանում է D տիրույթին։ Երբ M(x,y) կետը տեղափոխվում է այդ հատվածի վրա, մեր f(x,y) սկզբնական ֆունկցիան դառնում է մեկ փոփոխականի՝ t-ի բարդ ֆունկցիա՝

F(t)=f(x'+t(x''-x'), y'+t(y''-y')),

որն, ակներևորեն, անընդհատ ֆունկցիա է նախորդ դասի թեորեմայի համաձայն։ Սակայն, այդ F(t) ֆունկցիայի համար ունենք՝

F(0)=f(x',y')<0, f(1)=f(x'', y'')>0:

F(t) ֆունկցիայի նկատմամբ կիրառելով ֆունկցիայի զրո դառնալու վերաբերյալ դասում ապացուցված թեորեման, կարող ենք պնդել, որ 0-ի և 1-ի միջև գտնվող մի որոշ t' -ի դեպքում F(t')=0։ Հիշելով F(t) ֆունկցիայի սահմանումը, այդպիսով ստանում ենք, որ

f(x0,y0)=0

որտեղ՝

x0=x'+t'(x''-x'), y0=y'+t'(y''-y'):

Այստեղից բխում է նաև Բոլցանոյի-Կոշիի երկրորդ թեորեմային համանման թեորեման, (որն, ի միջի այլոց, կարելի էր ստանալ միանգամից)։

Ընթերցողը տեսնում է, որ m չափանի տարածությանն անցնելը ոչ-մի դժվարություն չի առաջացնում, որովհետև m չափանի կապակցված տիրույթում նույնպես կարելի է կետերը միացնել բեկյալով և հարցը կհանգեցվի, ինչպես հենց նոր արվեց, մեկ փոփոխականից կախված ֆունկցիայի դիտարկմանը։

Վերջին ավելացված նյութերը

Դեկտեմբերի 01 2019
Հոկտեմբերի 30 2019
Հոկտեմբերի 14 2019
Free Joomla! templates by AgeThemes