Հոդվածների այցերի քանակը
84781

Հաջորդական սահմաններ

Բացի f(x1, x2, …, xm) ֆունկցիայի վերևում դիտարկված այն սահմանից, երբ բոլոր արգումենտները միաժամանակ ձգտում են իրենց սահմաններին, հարկավոր է լինում գործ ունենալ նաև այլ տեսակի այլ սահմանների հետ, որոնք ստացվում են որպես մի շարք իրար հաջորդող սահմանների անցումների արդյունք՝ ըստ յուրաքանչյուր արգումենտի առանձին, այս կամ այն կարգով։ Առաջին սահմանը կոչվում է m-պատիկ (կամ՝ կրկնապատիկ, եռապատիկ և այլն, երբ m=2, 3, …), իսկ վերջինը՝ հաջորդական սահման։

Պարզության համար սահմանափակվենք երկու փոփոխականների f(x, y) ֆունկցիայի դեպքով։ Ենթադրենք նաև, որ x, y փոփոխականների փոփոխման M տիրույթն այնպիսին է, որ x-ը (անկախ y-ից) կարող է ընդունել միայն մի արժեք մի որոշ X բազմությունից, որի համար a-ն խտացման կետ է, բայց նրան չի պատկանում, և նմանապես նաև y-ը (անկախ x-ից) փոփոխվում է մի Y բազմության ներսը, որի համար խտացման կետ է նրան չպատկանող b կետը։ Այդպիսի M տիրույթը կարելի է սիմվոլիկ կերպով նշանակել որպես

\[X \times Y:\]

Օրինակ,
\[(a, a+H; b,b+K)=(a, a+H) \times (b, b+K):\]

Եթե Y-ից վերցրած յուրաքանչյուր հաստատուն y-ի դեպքում f(x,y) ֆունկցիայի համար (որը կլինի միայն x-ի ֆունկցիա) գոյություն ունի սահման, երբ x->a, ապա այդ սահմանը, ընդհանրապես ասած, կախված կլինի նախապես հաստատուն պահված y-ի արժեքից՝
\[\lim_{x \to a}f(x,y)=\varphi (y):\]

Այնուհետև կարելի է դնել
\[\varphi (y)\]

ֆունկցիայի սահմանի հարցը, երբ y->b`
\[\lim_{y \to b}\varphi (y)=\lim_{y \to b} \lim_{x \to a}f(x,y).\]

հենց այս էլ կլինի երկու հաջորդական սահմաններից մեկը։ Մյուսը կստացվի, եթե սահմանային անցումը կատարենք հակառակ կարգով՝
\[\lim_{x \to a}\lim_{y \to b}f(x, y).\]

Չպետք է կարծել, որ այդ հաջորդական սահմաններն անհրաժեշտաբար հավասար են։
1) Եթե, օրինակ,
\[M(0,+ \infty; 0, +\infty)\]

տիրույթում ընդունենք՝
\[t(x,y)=\frac{x-y+x^2+y^2}{x+y}\]

և վերցնենք a=b=0, ապա կստանանք՝
\[\varphi (y)=\lim_{x \to 0}f(x, y)=y-1,\]

\[\lim_{y \to 0}\varphi (y)=\lim_{y \to 0} \lim_{x \to 0} f(x,y)=-1\]

մինչդեռ՝
\[ψ(x)=\lim_{y \to 0}f(x,y)=x+1,\]

\[\lim_{x \to 0}ψ(x)=\lim_{x \to 0}\lim_{y \to 0}f(x,y)=1\]

Նաև կարող է պատահել, որ հաջորդական սահմաններից մեկը գոյություն ունենա, իսկ մյուսը՝ ոչ։

Այդպես կլինի, օրինակ, հետևյալ ֆունկցիաների համար՝

\[2) f(x,y)=\frac{x \sin \frac 1x +y}{x+y}, \quad f(x,y)=x \cdot \sin \frac 1y\]

այստեղ երկու դեպքում էլ գոյություն ունի
\[\lim_{y \to 0} \lim_{x \to 0} f(x,y)\]

հաջորդական սահմանը, բայց չկա
\[\lim_{x \to 0} \lim_{y \to 0} f(x,y)\]

հաջորդական սահման։

Այս պարզ օրինակները ցույց են տալիս, թե որքան զգույշ պետք է լինել տարբեր փոփոխականների նկատմամբ երկու սահմանային անցումները տեղափոխելիս․ շատ հաճախ սխալ եզրակացություններ են ստացել հենց այդպիսի ապօրինի տեղափոխումից։ Միաժամանակ, անալիզի կարևոր հարցերից շատերը կապված են հենց սահմանային անցումների տեղափոխման հետ, սակայն, հասկանալի է, որ ամեն անգամ պետք է հատկապես հիմնավորված լինի այդ տեղափոխման թույլատրելիությունը։

Այդպիսի հիմնավորման ճանապարհներից մեկը բաց է անում հետևյալ կարևոր թեորեման, որը միաժամանակ կապ է հաստատում կրկնապատիկ և հաջորդական սահմանների միջև։

Թեորեմա։ Եթե 1) գոյություն ունի (վերջավոր կամ անվերջ) կրկնապատիկ սահման՝

\[A=\lim_{x \to a, y \to b}f(x, y)\]

և 2) Y-ից վերցրած ամեն մի y-ի դեպքում գոյություն ունի (վերջավոր) պարզ սահման ըստ x-ի՝
\[\varphi (y)= \lim_{x \to a} f(x,y),\]

ապա գոյություն ունի նաև
\[\lim_{y \to b} \varphi (y) = \lim_{y \to b} \lim_{x \to a} f(x, y)\]

հաջորդական սահմանը, որը հավասար է կրկնապատիկ սահմանին։

Ապացուցենք վերջավոր A-ի, a-ի և b-ի համար։ Ֆունկցիայի «սահմանի ε-δ լեզվով» սահմանման համաձայն հախապես տրված ε>0 թվի համար կգտնվի այնպիսի δ>0 թիվ, որ՝

\[|f(x,y)-A|<ε,\]

հենց որ |x-a|<δ և |y-b|<δ (ընդ որում x-ը վերցված է X-ից, իսկ y-ը՝ Y-ից)։ Այժմ y-ն ընտրենք այնպես, որ տեղի ունենա |y-b|<δ անհավասարությունը և պահենք հաստատուն։
\[|f(x,y)-A|<ε,\]

Արտահայտության մեջ անցնենք սահմանին, x-ը ձգտեցնելով a-ին։ Քանի որ 2-ի շնորհիվ, այդ ժամանակ f(x, y)-ը ձգտում է φ(y) սահմանին, ուստի կստանանք՝
\[|\varphi (y) – a| \leq ε\]

Վերհիշելով, որ այստեղ y-ը Y-ից վերցրած ցանկացած թիվ է, միայն |y-b|<δ պայմանին բավարարող, գալիս ենք այն եզրակացության, որ՝
\[A=\lim_{y \to b} \varphi (y)= \lim_{y \to b} \lim_{x \to a} f(x, y)\]

որը և պահանջվում էր ապացուցել։
Եթե 1) և 2) պայմանների հետ միասին, X-ից վերցրած ցանկացած x-ի դեպքում գոյություն ունի (վերջավոր)
\[ψ(x)=\lim_{y \to b} f(x,y)\]

պարզ սահմանն ըստ y-ի, ապա, ինչպես հետևում է արդեն ապացուցածից, եթե x-ի և y-ի դերերը փոխենք, գոյություն կունենա նաև երկրորդ հաջորդական սահմանը՝
\[\lim_{x \to a}ψ(x)=\lim_{x \to a} \lim_{y \to b} f(x,y),\]

և հավասար կլինի նույն A թվին․ այս դեպքում երկու հաջորդական սահմաններն իրար հավասար էն։

Ապացուցված թեորեմայից անմիջապես պարզ է, որ 1) և 2) օրինակներում կրկնապատիկ սահման գոյություն չունի։ Դրանում հեշտությամբ կարելի է համոզվել նաև անմիջականորեն։

3)-րդ օրինակում, ընդհակառակը, կրկնակի սահմանը գոյություն ունի․

\[x \cdot \sin \frac 1x \leq |x|\]

անհավասարությունից տեսնում ենք, որ այդ սահմանը հավասար է զրոյի։ Այս օրինակը ցույց է տալիս, որ թեորեմայի 1) պայմանից 2) պայմանը չի հետևում։

Սակայն չպետք է կարծել, որ կրկնապատիկ սահմանի գոյությունն անհրաժեշտ է հաջորդական սահմանների հավասարության համար։

Վերջին ավելացված նյութերը

Դեկտեմբերի 01 2019
Հոկտեմբերի 30 2019
Հոկտեմբերի 14 2019
Free Joomla! templates by AgeThemes