Հոդվածների այցերի քանակը
86530

Բաց և փակ տիրույթների ընդհանուր սահմանումը

\[M'(x'_1, x'_2, …, x'_m)\]

կետը կանվանենք M բազմության (m չափանի տարածության մեջ) ներքին կետ, եթե նա M բազմությանն է պատկանում իր բավասանաչափ փոքր շրջակայքի հետ միասին։ Նախորդ դասի վերջում ապացուցածից, ակներևորեն, հետևում է, որ նշանակություն չունի այն, թե այստեղ ինչ տիպի շրջակայք ենք ի նկատի ունենում՝ զուգահեռանիստային, թե գնդային։


\[(a_1, b_1; a_2, b_2; …; a_m, b_m)\]

բաց ուղղանկյուն զուգահեռանիստի համար նրա յուրաքանչյուր կետը ներքին կետ է։ Իրոք, եթե
\[a_1<x'_1<b_1, a_2<x'_2<b_2, …, a_m<x'_m<b_m,\]

ապա հեշտ է գտնել մի այնպիսի δ թիվ, որպեսզի տեղի ունենան
\[a_1<x'_1-δ<x'_1+δ<b_1, …, a_m<x'_m-δ<x'_m+δ<b_m\]

անհավասարությունները։

Նմանապես, r շառավղով և M0 կենտրոնով բաց գնդի դեպքում, նրան պատկանող յուրաքանչյուր M' կետը հանդիսանում է նրա ներքին կետ։ Եթե p-ն վերցնենք այնպես, որ

\[0<p<r-\overline{M'M}\]

և M' կետի շուրջը գծենք այդ p շառավղով գունդ, ապա նա ամբողջապես կգտնվի սկզբում վերցրած գնդի ներսը․ հենց որ
\[\overline{MM'}<p\]

անմիջապես տեղի կունենա (ինչպես այդ տեսել ենք այս դասում)`
\[\overline{MM_0}\leq \overline{MM'}+\overline{M'M_0}<p+\overline{M'M_0}<r,\]

ուստի M կետը պատկանում է սկզբում վերցրած գնդին։

Այդ տեսակի բազմությունը, որը ամբողջապես կազմված է ներքին կետերից, կանվանենք բաց տիրույթ։

Այսպիսով, բաց ուղղանկյուն զուգահեռանիստը և բաց գունդը ծառայում են որպես բաց տիրույթների օրինակներ։

Այժմ ընդհանրացնենք խտացման կետի գաղափարը m չափանի տարածության M բազմության դեպքի համար․ M0 կետը կոչվում է M բազմության խտացման կետ, եթե նրա յուրաքանչյուր շրջակայքում (դարձյալ՝ անկախ շրջակայքի տեսակից) գտնվում է M բազմությանը պատկանող գոնե մեկ կետ, որը M0-ից տարբեր է։

Բաց տիրույթի այն խտացման կետերը, որոնք տիրույթին չեն պատկանում,կոչվում են նրա եզրային կետեր։ Եզրային կետերի համախմբությունը կազմում է տիրույթի եզրը։ Բաց տիրույթը իր եզրերի հետ միասին կոչվում է փակ տիրույթ:

Դժվար չէ տեսնել, որ

\[(a_1, b_1; a_2, b_2; …; a_m, b_m)\]

բաց զուգահեռանիստի համար եզրային կետեր կլինեն այն
\[M(x_1, x_2, …, x_m)\]

կետերը, որոնց համար
\[a_1 \leq x_1 \leq b_1, …, a_m \leq x_m \leq b_m,\]

ընդ որում գոնե մեկ դեպքում տեղի ունի հենց հավասարություն։

Ճիշտ նույն կերպ, վերևում դիտարկված բաց գնդի համար եզրային կլինեն այն M կետերը, որոնց համար ճշտորեն

\[\overline{MM_0}=r\]

Այսպիսով, փակ ուղղանկյուն զուգահեռանիստը և փակ գունդը փակ տիրույթների օրինակներ են։

Այսուհետև, խոսելով բաց կամ փակ տիրույթի մասին, մենք միշտ ի նկատի կունենանք այստեղ նշված հատուկ իմաստով տիրույթ։

Այժմ ցույց տանք, որ փակ տիրույթին պատկանում են նրա բոլոր խտացման կետերը։

Դիցուք տրված է D' փակ տիրույթը և նրանից դուրս M0 կետը։ Ապացուցենք, որ M0-ն D'-ի համար խտացման կետ չի լինի։

D' փակ տիրույթն ստացվում է մի որոշ D բաց տիրույթից՝ նրան իր E եզրը միացնելու միջոցով։ Ակներևաբար, M0 կետը D-ի համար խտացման կետ չէ, հետևապես M0-ն կարելի է շրջապատել այնպիսի բաց գնդով, որ նրա մեջ D-ին պատկանող կետեր բոլորովին չգտնվեն։ Բայց այդ դեպքում այդտեղ չեն գտնվի նաև E-ից կետեր․ չէ որ, եթե E-ից որևէ M կետ գտնվեր այդ գնդի ներսում, ապա այդտեղ կգտնվեր նաև M կետի մի որոշ շրջակայք ամբողջությամբ, և այդ շրջակայքի ներսում չեր լինի D-ից և ոչ մի կետ, որը կհակասեր եզրի սահմանմանը։ Ուրեմն, վերոհիշյալ գնդում D'-ից կետեր չկան, որը և ապացուցում է մեր պնդումը։

Ընդհանրապես կետային այնպիսի M բազմությունը, որն իր մեջ պարունակում է բոլոր իր խտացման կետերը, անվանում են փակ բազմություն։ Այսպիսով, փակ տիրույթը փակ բազմության մասնավոր դեպքն է։

Վերջին նյութերում շարադրվածները բոլորը կարելի է դիտարկել միայն որպես ինչ-որ երկրաչափական լեզվի սահմանում․ վերջինիս հետ (m>3 դեպքում) ոչ մի իսկական երկրաչափական պատկերացում չի կապված։ Սակայն օգտակար է ընդգծել, որ m-չափանի թվաբանական տարածությունը փաստորեն հանդիսանում է միայն առաջին քայլը դեպի տարածության գաղափարի վերին աստիճանի բեղմնավոր ընդհանրացումները, որոնք դրված են ժամանակակից անալիզի ավելի բարձր մասերից շատերի հիմքում։

Վերջին ավելացված նյութերը

Դեկտեմբերի 01 2019
Հոկտեմբերի 30 2019
Հոկտեմբերի 14 2019
Free Joomla! templates by AgeThemes