Հոդվածների այցերի քանակը
84804

Սիմետրիկ թվեր։ Բացարձակ մեծություն

Այժմ ապացուցենք, որ յուրաքանչյուր a իրական թվի համար գոյություն ունի (նրան սիմետրիկ) -a թիվ, որը բավարարում է a+(-a)=0:

Ապացուցելիս կարելի է սահմանափակվել այն դեպքով, երբ a թիվն իռացիոնալ է։

Ընդունելով, որ a թիվը վորոշվում է A|A' հատույթով, մենք a թիվը մենք -a թիվը սահմանենք հետևյալ ձևով։ -a թիվը որեշող հատույթի A ստորին դասի մեջ գցենք բոլոր -a' ռացիոնալ թվերը, որտեղ a' -ը ցանկացած թիվ է A' դասից, իսկ A' վերին դասի մեջ գցենք բոլոր -a'' ռացիոնալ թվերը, որտեղ a''-ը ցանկացած թիվ է A դասից։ Դժվար չէ համոզվել, որ այդպիսի տրոհումն իրոք հատույթ է և որոշում է մի իրական (տվյալ դեպքում՝ իռացիոնալ) թիվ․ այդ թիվը նշանակենք -a:

Այժմ ցույց տանք, որ այդ թիվը բավարարում է նշված պայմանին՝ a+(-a)=0: Օգտվելոց հենց -a թվի սահմանումից, տեսնում ենք, որ a+(-a) գումարը մի իրական թիվ է, որը գտնվում է a''-a' տեսքի և a'-a'' տեսքի ռացիոնալ թվերի միջև, որտեղ a''<a<a': Բայց, ակներևորեն՝

 

a''-a'≤0≤a'-a''

 

Այնպես, որ 0 թիվը նույնպես գտնվում է նույն ռացիոնալ թվերի միջև, ինչպես և a+(-a) գումարը։ Այդպիսի հատկությամբ օժտված թվի միակության շնորհիվ (2-րդ լեմմա), կունենանք՝

a+(-a)=0,

որը և պահանջվում էր ապացուցել։

Ավելացնենք նաև, որ տվյալ թվին սիմետրիկ թիվը միակն է և օժտված է հետևյալ հատկություններով՝

-(-a)=a, -(a+b)=(-a)+(-b):

Սիմետրիկ թվի գաղափարի օգնությամբ սպառվում է իրական թվերի հանման վերաբերյալ հարցը, որպես գումարմանը հակադարձ գործողության վերաբերյալ հարց․ a և b թվերի տարբերություն կանվանենք տարբերություն կանվանենք (և կնշանակենք a-b) այն c թիվը, որը բավարարում է

c+b=a (կամ b+c=a)

պայմանին։ Հենվելով գւմարման հատկությունների վրա, հեշտ է ցույց տալ, որ այդպիսին կլինի c=a+(-b) թիվը։ Իսկապես՝

c+b=(a+(-b))+b=a+((-b)+b)=a+(b+(-b))=a+0=a

Այդպես է ապացուցվում նաև տարբերության միակությունը։

Իրական թվերի գումարման հատկությունների 4-րդ հատկությունն այժմ թույլ է տալիս օգտակար դիտողություն անել

a>b և a-b>0

անհավասարությունների համարժեք լինելու մասին։ Իսկ այդտեղից էլ հետևում է, որ a>b անհավասարությունից բխում է -a<-b անհավասարությունը։

Վերջապես, սիմետրիկ թվի գաղափարի հետ կապված է նաև թվի բացարձակ մեծության գաղափարը։ Սիմետրիկ թվի պարզ երևում է, որ a>0 դեպքում անհրաժեշտաբար -a<0, իսկ a<0 դեպքում՝ -a>0։ Այլ խոսքով, եթե միայն a0, ապա a և -a թվերից մեկը և միայն մեկը զրոյից մեծ կլինի․ Հենց այդ թիվն էլ անվանում են ինչպես a թվի, այնպես էլ -a թվի բացարձակ մեծություն և նշանակում

|a|=|-a|

պայմանանշանով։ Զրո թվի բացարձակ մեծությունը համարում են հավասար զրոի՝ |0|=0:

Հետագայում օգտագործելու համար ևս երկու դիտողություն անենք բացարձակ մեծությունների վերաբերյալ։

Ամենից առաջ ցույց տանք, որ |a|<b անհավասարությունը (որտեղ, անշուշտ, b>0) համարժեք է -b<a<b կրկնակի անհավասարությանը։

Իրոք, |a|<b անհավասարությունից հետևում է, որ միաժամանակ a<b և -a<b, ապա միաժամանակ ունենք՝ a<b և -a<b։ Սակայն a և -a թվերից մեկը հենց |a|-ն է, այնպես որ հաստատ |a|<b:

Համանման ձևով ցույց է տրվում, որ համարժեք են նաև

|a| b և -bab:

անհավասարությունները։

Ապացուցենք, այնուհետև՝

|a+b||a|+|b|

օգտակար անհավասարությունները։

Անդամ առ անդամ գումարելով հետևյալ ակներև անհավասարությունները՝

-|a|≤a≤|a| և -|b|≤b≤|b|,

Կստանանք՝

-(|a|+|b|)≤a+b≤|a|+|b|,

որտեղից և, վերևում տրված դիտողության շնորհիվ, բխում է պահանջվող անհավասարությունը։

Ապացուցված անհավասարությունը մաթեմատիկական ինդուկցիայի օգնությամբ տարածվում է ցանկացած թվով գումարելիների դեպքի վրա։ Բացի դրանից այնտեղից հեշտությամբ ստացվում է, որ՝

|a+b||a|-|b|,

Ինչպես նաև՝

|a|-|b|≤|a-b|≤|a|+|b|

Քանի որ միաժամանակ նաև՝

|b|-|a|≤|a-b|,

ուստի, ակներևաբար՝

||a|-|b||≤|a-b|

Այս բոլոր անհավասարությունները բազմիցս պետք են գալու հետագայում։

Վերջին ավելացված նյութերը

Դեկտեմբերի 01 2019
Հոկտեմբերի 30 2019
Հոկտեմբերի 14 2019
Free Joomla! templates by AgeThemes