Հոդվածների այցերի քանակը
86574

Էքստրեմումի կետ լինելու կանոնները։ Բարձր կարգի ածանցյալի օգտագործումը

Մենք տեսանք, որ երբ f'(x0)=0 և f''(x)>0, f(x) ֆունկցիան x0 կետում հասնում է մինիմումի, իսկ եթե f'(x0)=0 և f''(x0)<0, ապա ֆունկցիան այդ կետում ունի մաքսիմում։ Այն դեպքը, երբ f'(x0)=0 և f''(x0)=0, մենք թողեցինք առանց հետազոտության։

Այժմ ենթադրենք, թե f(x) ֆունկցիան x=x0 կետում ունի n հաջորդական ածանցյալներ, ընդ որում n-րդ ածանցյալն x=x0 կետում անընդհատ է։ Դիցուք նրանք բոլորը, ընդհուպ մինչև (n-1)-րդը, այդ կետում դառնում են զրո՝

\[f'(x_0)=f''(x_0)=...=f^{(n-1)}(x_0)=0\]

մինչդեռ f(n)(x0)≠0: f(x) ֆունկցիայի f(x)-f(x0) աճը Թեյլորի բանաձևով վերլուծենք (x-x0)-ի աստիճաններով՝ Պեանոյի տեսքով լրացուցիչ անդամով: Քանի որ n-ից ցածր կարգի բոլոր ածանցյալները x0 կետում հավասար են զրոյի, ուստի կունենանք՝

\[f(x)-f(x_0)=\frac{f^{(n)}(x_0) + \alpha (x)}{n!}(x-x_0)^n:\]

Շնորհիվ այն բանի, որ երբ x->x0, α->0, x0-ին բավականաչափ մոտ գտնվող x-երի համար համարիչում գտնվող գումարի նշանը կհամընկնի f(n)(x0)-ի նշանի հետ, ինչպես x<x0 արժեքների, նույնպես և x>x0 արժեքների դեպքում։ Դիտարկենք երկու դեպք։

1. n-ը կենտ թիվ է՝ n=2k+1: x-ի՝ x0-ից փոքր արժեքներից x0-ից մեծ արժեքներին անցնելիս (x-x0)n արտահայտությունը փոխում է նշանը, և քանի որ այդ դեպքում առաջին արտադրիչի նշանը չի փոխվում, ուստի նաև f(x)-f(x0) տարբերության նշանը կփոխվի։ Այսպիսով, x0 կետում f(x) ֆունկցիան էքստրեմում ունենալ չի կարող, որովհետև այդ կետի մոտակայքում նա ընդունում է f(x0)-ից թե փոքր, և թե մեծ արժեքներ։

2. n-ը զույգ թիվ է՝ n=2k: Այս դեպքում f(x)-f(x0) տարբերությունը, x-ի x0-ից փոքր արժեքներից x0-ից մեծ արժեքներին անցնելիս, նշանը չի փոխում, որովհետև x-ի բոլոր արժեքների համար (x-x0)n>0: Ակներևորեն x-ի մոտակայքում թե ձախից թե և թե աջից f(x)-f(x0) տարբերության նշանը համընկնում է f(n)(x0) թվի նշանի հետ։ Ուրեմն, եթե f(n)(x0)>0, ապա x-ի մոտակայքում f(x)>f(x0) և x0 կետում f(x) ֆունկցիան ունի մինիմում, իսկ եթե f(n)(x0)<0, ապա ֆունկցիան ունի մաքսիմում։

Այստեղից ստացվում է հետևյալ կանոնը․

Եթե x0 կետում զրո չդարձող ածանցյալներից առաջինը կենտ կարգի է, x0 կետում ֆունկցիան չունի ոչ մաքսիմում և ոչ էլ մինիմում։ Եթե այդպիսի ածանցյալը զույգ կարգի է, x0 կետում ֆունկցիան ունի մաքսիմում կամ մինիմում, նայած նրան, թե այդ ածանցյալը բացասական է, թե դրական։

Վերջին ավելացված նյութերը

Դեկտեմբերի 01 2019
Հոկտեմբերի 30 2019
Հոկտեմբերի 14 2019
Free Joomla! templates by AgeThemes