Հոդվածների այցերի քանակը
86583

Էքստրեմումի կետ լինելու կանոնները։ Երկրորդ կանոնը

Եթե x0-ն ստացիոնար կետ է՝

\[f'(x_0)=0\]

և f(x) ֆունկցիան ոչ միայն առաջին կարգի f'(x) ածանցյալ ունի այդ կետի շրջակայքում, այլև f''(x) երկրորդ ածանցյալ հենց x0 կետում, ապա ամբողջ ստուգումը կարելի է հանգեցնել այդ երկրորդ ածանցյալի նշանի դիտարկմանը, ենթադրելով, որ այն զրոյից տարբեր է։

Իրոք, ըստ ածանցյալի սահմանման, հաշվի առնելով f'(x0)=0 պայմանը, կունենանք՝

\[f''(x_0)= \lim_{x \to x_0} \frac{f'(x)-f'(x_0)}{x-x_0}= \lim_{x \to x_0} \frac{f'(x)}{x-x_0}\]

Բայց մեր անցած այս դասի 2-րդ թեորեմայի համաձայն
\[\frac{f'(x)}{x-x_0}\]

ֆունկցիան ընդունում է ու պահպանում է իր f''(x0) սահմանի նշանը, հենց որ x-ը (x0-ից տարբեր մնալով) բավականաչափ մոտ է գտնվում x0-ին։

Դիցուք, օրինակ, f''(x0)>0. այդ դեպքում

\[\frac{f'(x)}{x-x_0}\]

կոտորակը դրական է x-ի նշված բոլոր արժեքների համար։ Բայց x<x0 դեպքում հայտարարում x-x0<0, հետրաբար f'(x) ահմարիչը անհրաժեշտաբար նույնպես փոքր է զրոյից․ իսկ x>x0 դեպքում, ընդհակառակը, կունենանք x-x0>0, ուստի նաև f'(x)>0: Այլ խոսքով, ստացվում է, որ f'(x) ածանցյալը նշանը փոխում է մինուսից պլյուսի, իսկ այդպիսի դեպքում, արդեն ըստ առաջին կանոնի, x0 կետում կլինի մինիմում։ Նման ձևով ցույց է տրվում, որ f''(x0)<0 դեպքում x0 կետում առկա է մաքսիմում։

Այսպիսով, կարելի է ձևակերպել x0 «կասկածելի» արժեքի ստուգման երկրորդ կանոնը

x0 արժեքը ընդունում ենք f''(x) երկրորդ ածանցյալում․ եթե f''(x0)>0, ապա ֆունկցիան մինիմում ունի, իսկ եթե f''(x0)<0, ապա մաքսիմում ունի։

Այս կանոնը, ընդհանրապես ասած, կիրառման ավելի նեղ շրջան ունի․ այն, օրինակ, բացահայտ կերպով անկիրառելի է այն կետերի նկատմամբ, որտեղ առաջին կարգի վերջավոր ածանցյալ գոյություն չունի (քանի որ այդտեղ խոսք անգամ չի կարող լինել երկրորդ ածանցյալի մասին)։ Այն դեպքում, երբ երկրորդ ածանցյալը զրո է դառնում, կանոնը դարձյալ ոչինչ չի ասում։ Այդպիսի դեպքերում հարցի լուծումը կախված կլինի բարձր կարգի ածանցյալների վարքից։

Վերջին ավելացված նյութերը

Դեկտեմբերի 01 2019
Հոկտեմբերի 30 2019
Հոկտեմբերի 14 2019
Free Joomla! templates by AgeThemes