Հոդվածների այցերի քանակը
84818

Էքստրեմումի կետ լինելու կանոնները։ Առաջին կանոն

Այսպես, ուրեմն, դիցուք x0 կետը «կասկածելի է» f(x) ֆունկցիայի էքստրեմումի տեսակետից։

Ենթադրենք, թե x0 կետի մի որոշ (x0 -δ, x0 +δ) շրջակայքում (գոնե x≠x0 համար) գոյություն ունի f'(x) վերջավոր ածանցյալ և ինչպես x0-ից ձախ, նույնպես և x0-ից աջ (առանձին-առանձին) այդ ածանցյալը պահպանում է որոշակի նշան։ Այդ ժամանակ հնարավոր են հետևյալ երեք դեպքերը՝

I f'(x)>0, երբ x<x0 և f'(x)<0 երբ x>x0, այսինքն՝ x0 կետով անցնելիս f'(x) ածանցյալը նշանը փոխում է դրականից բացասականի։ Այս դեպքում [x0-δ, x0] միջակայքում ֆունկցիան աճում է, իսկ [x0, x0 +δ] միջակայքում նվազում, այնպես որ f(x0) արժեքը կլինի մեծագույնը [x0-δ, x0+δ] միջակայքում, այսինքն՝ x0 կետում ֆունկցիան ունի մաքսիմում։

II. f'(x)<0, երբ x<x0 և f'(x)>0, երբ x>x0, այսինքն՝ x0 կետով անցնելիս f'(x) ածանցյալը նշանը փոխում է բացասականից դրականի։ Այս անգամ նույն ձևով համոզվում ենք, որ x0 կետում ֆունկցիան ունի մինիմում։

III. f'(x)>0 ինչպես x0<x, նույնպես և x0>x արժեքների համար, կամ թե՝ f'(x)<0 բոլոր արժեքների համար, այսինքն՝ x0 կետով անցնելիս f'(x)-ը նշանը չի փոխում։ Այդ ժամանակ ֆունկցիան կամ միշտ աճում է, կամ միշտ նվազում․ x0 կետի ցանկացած մոտակայքում մի կողմից կգտնվեն այնպիսի x կետեր, որտեղ f(x)<f(x0), իսկ մյուս կողմից՝ այնպիսի x հետեր, որտեղ f(x)>f(x0), այնպես որ՝ x0 կետում ոչ մի էքստրեմում չկա։

Այսպիսով, մենք ստանում ենք x0 «կասկածելի» արժեքն ստուգելու առաջին կանոնը․ f'(x) ածանցյալի մեջ տեղադրելով նախ x<x0 և ապա՝ x>x0 արժեքներ, որոշում ենք ածանցյալի նշանը x0-ի մոտակայքում՝ x0-ից դեպի ձախ և դեպի աջ․ եթե այդ ժամանակ f'(x)-ը նշանը փոխում է դրականից բացասականի, ապա առկա է մաքսիմում, իսկ եթե նշանը փոխում է բացասականից դրականի, ապա առկա է մինիմում, իսկ եթե նշանը չի փոխում, ապա էքստրեմում չկա։

Այժմ բնութագրենք ֆունկցիաների այն դասը, որի նկատմամբ մենք կիրառելու ենք այդ կանոնը։ f(x) ֆունկցիան ենթադրում ենք անընդհատ [a, b] միջակայքում և այնտեղ f'(x) անընդհատ ածանցյալ ունեցող, բացառությամբ, թերևս, վերջավոր թվով կետերից։ Այդ կետերում f'(x) ածանցյալը ինչպես ձախից, այնպես էլ աջից ձգտում է անվերջ սահմանների՝ նույն կամ հակադիր նշաններով․ առաջին դեպքում գոյություն ունի երկկողմյան անվերջ ածանցյալ, իսկ երկրորդ դեպքում՝ նշաններով տարբեր միակողմյան ածանցյալներ։ Վերջապես, ընդունենք նաև, որ ածանցյալը զրո է դառնում միայն վերջավոր թվով կետերում։ Էքստրեմումի համար «կասկածելի» կետերի վերաբերյալ տարբեր հնարավորությունները գրաֆիկորեն պատկերված են գծագիր 44-ում։


Նշենք, որ բ, գ, դ դեպքերում կորը հատում է շոշափողը, նրա մի կետից մյուսին անցնելով․ այդպիսի դեպքերում, ինչպես ասում են, կորը շրջում ունի։

Դիտարկվող դասին պատկանող ֆունկցիաների համար բերված կանոնը լիովին որոշում է մեզ հետաքրքրող հարցը։ Բանը նրանումն է, որ այդպիսի ֆունկցիայի համար (a, b) միջակայքում միայն վերջավոր թվով են ստացիոնար կետերը և այնպիսի կետերը, որտեղ վերջավոր ածանցյալ չկա՝

\[a<x_1<x_2<...<x_k<x_{k+1}<...<x_{n-1}<b\]

և այդ կետերով կազմված

\[(a, x_1), (x_1, x_2), …, (x_k, x_{k+1}), …, (x_{n-1}, b) \]

միջակայքերից յուրաքանչյուրում f'(x) ածանցյալը նշանը պահպանում է։ Իրոք, եթե f'(x)-ը նշանը փոխեր, օրինակ, (xk, xk+1) միջակայքում, ապա, f'(x)-ի անընդհատության շնորհիվ, որ մենք ենթադրել էինք, Բոլցանոյի-Կոշիի թեորեմայի համաձայն, նա պետք է զրո դառնար xk-ի և xk+1-ի միջև գտնվող մի որոշ կետում, որն անհնար է, քանի որ ածանցյալի բոլոր արմատներն արդեն գտնվում են կետերի

\[a<x_1<x_2<...<x_k<x_{k+1}<...<x_{n-1}<b\]

շարքում։

Ըստ III թեորեմայի

\[(a, x_1), (x_1, x_2), …, (x_k, x_{k+1}), …, (x_{n-1}, b) \]

միջակայքերից յուրաքանչյուրում ֆունկցիան խիստ մոնոտոն է փոփոխվում։

Դիտողություն։ Թեպետև ֆունկցիաների նշված դասն իր մեջ ընդգրկում է գործնականորեն հետաքրքրություն ներկայացնող բոլոր դեպքերը, այնուամենայնիվ օգտակար է նկատի ունենալ, որ կարող են այնպիսի դեպքեր լինել, երբ «կասկածելի» արժեքների հետազոտման մեր կանոնը անկիրառելի է։

Վերջին ավելացված նյութերը

Դեկտեմբերի 01 2019
Հոկտեմբերի 30 2019
Հոկտեմբերի 14 2019
Free Joomla! templates by AgeThemes